Настроение:	cold
Музыка:	New Model Army -- Rivers
Entry tags:	геометрия, геометрия/задача Каповича

Дабы закрыть тему с теоремой Хейхала-Тёрстона для одного дифференциала
Пусть S -- сфера с ручками, и Teich(S) обозначает пространство Тейхмюллера, фактор пространства всех комплексных структур на S по действию связной компоненты группы диффеоморфизмов. Обозначим V = H^1_{dR}(S) \o \C, тогда произведение Teich(S) \x V можно рассматривать как расслоение над Teich(S), слой которого над точкой I составляет пространство H^1_{dR}(S, \C), а тривиализация даётся связностью Гаусса-Манина. В нём имеется не ковариантно постоянное подрасслоение F \subset Teich(S) \x V, называемое расслоением Ходжа, слой которого над точкой I есть подпространство H^{1,0}(S,I). Рассмотрим в его тотальном пространстве множество ненулевых векторов F \ 0_F. Оно отображается в V проекцией вдоль связности Гаусса-Манина, обозначим её за p

Теорема, которую Капович приписывает Хейхалу и Тёрстону (но известная, должно быть, ещё Торелли) и называет почему-то 'теоремой о голономии', утверждает, что отображение p открыто. Приводимое им доказательство довольно муторно, хотя и основывается на несложном комплексном анализе. На самом деле, можно доказать, что отображение p не только открыто, но, более того, имеет сюръективный дифференциал. Касательное расслоение к F \ 0_F разваливается в вертикальное и горизонтальное подрасслоения; если в ограничении на вертикальное подрасслоение сей дифференциал есть просто дифференциал тавтологического вложения H^{1,0}(S, I) \to H^1_{dR}(S) \o C, то его горизонтальная компонента более интересна: в композиции с проекцией на H^{0,1}(S, I) это отображение Кодаиры-Спенсера: T_{I}(Teich(S)) \to H^{0,1}(S, I), v \mapsto KS_{v}(\alpha), где \alpha \in F_I = H^{1,0}(S, I) -- точка в F \ 0_F, в которой мы вычисляем дифференциал. Итак, чтобы показать, что дифференциал p сюръективен, необходимо доказать следующее утверждение про класс Кодаиры-Спенсера:

---

Пусть \alpha \in H^{1,0}(S, I) -- ненулевой класс, и \beta \in H^{0,1}(S, I) -- любой класс. Тогда существует вектор v \in T(Teich(S)), переводящий при отображении Кодаиры-Спенсера первый класс во второй: KS_v(\alpha) = \beta.

---

Дифференциально-геометрическое доказательство, которое придумал и любезно мне сообщил levs57@lj, такое. Представим класс \alpha голоморфной 1-формой, а класс \beta произвольной замкнутой формой. Выберем вокруг нулей формы \alpha небольшие непересекающиеся диски, и пусть функции f_i на них таковы, что \beta = df_i в ограничении на каждый диск. Продолжим эти локальные функции до гладкой функции f, и пускай \beta' = \beta - df. Она лежит в классе когомологий \beta и тождественно обнуляется в окрестностях нулей \alpha. Тогда форма \alpha_{\eps} = \alpha + \eps\beta', во-первых, в окрестностях нулей совпадает с формой \alpha, а вдали от нулей при малых значениях \eps имеет тот же ранг ядра, что и \alpha. Значит, в окрестностях нулей тензор (почти) комплексной структуры на кривой можно не трогать, а вне этих окрестностей можно изменить так, чтобы его собственные подпространства пришлись ровно в распределение ядер формы \alpha_{\eps}. На кривой всякая почти комплексная структура интегрируема, так что эта деформация определяет путь в пространстве Тейхмюллера, к которому касательный вектор -- это какой надо вектор. ■

Доказательство это очень мило и наглядно, однако для обобщения на случай двух, тем паче трёх классов хотелось бы более острого размышления, не зависящего от произвола в выборе окрестностей, интерполяции локальных потенциалов и тому подобного. Я часто мысленно в таких ситуациях возвращаюсь к Боэцию:

2. — Но сей­час вре­мя для лече­ния, а не для жалоб, — ска­за­ла она, и, устре­мив на меня вни­ма­тель­ный взор, вос­клик­ну­ла: — Неуже­ли это ты! Ты, кото­ро­го я вскор­ми­ла сво­ей гру­дью, моло­ком сво­им, чтобы ты обрел муже­ство и силу духа? Ведь я дала тебе такое ору­жие, кото­рое помог­ло бы тебе сохра­нить непо­ко­ле­би­мую стой­кость, если бы ты толь­ко сра­зу же не отбро­сил его. Не узна­ешь меня? Что мол­чишь? Без­молв­ст­ву­ешь от сты­да или от изум­ле­ния? Я бы пред­по­чла стыд, но чув­ст­вую, что ты пора­жен изум­ле­ни­ем. — Когда же она увиде­ла, что я не про­сто мол­чу, а совер­шен­но утра­тил дар речи, лег­ко кос­ну­лась рукой моей груди и ска­за­ла: Ника­кой опас­но­сти, он стра­да­ет летар­ги­ей, обыч­ной болез­нью рас­стро­ен­но­го ума. Он нена­дол­го забыл­ся, но лег­ко при­дет в себя, раз он был зна­ком со мною преж­де. Чтобы он смог [это сде­лать], мы немно­го протрем ему гла­за, зату­ма­нен­ные забота­ми о брен­ных вещах. Ска­зав так, она осу­ши­ла мои гла­за, напол­нен­ные сле­за­ми, кра­ем сво­ей одеж­ды, собран­ным в комок.

3 (v). После того, как рас­се­я­лась ночь и рас­та­я­ла в све­те,
Сно­ва вер­ну­лась ко мне моя преж­няя сила.
Так же быва­ет, когда соби­ра­ют­ся тучи неждан­но,
Севе­ро-запад их шлет, гонит вет­ром их Кав­ром.
Лив­ни хле­стать начи­на­ют, скры­ва­ет­ся солн­це со сво­да,
Звезд еще нет, хотя тьма уже все зато­пи­ла.
Если ж с фра­кий­ских про­сто­ров Борей при­не­сет­ся холод­ный,
С туч он заве­су сорвет, сно­ва день заси­я­ет,
Вый­дет свер­каю­щий све­том лучи­стым из тучи вне­зап­но
Феб, изум­лен­ных людей всех гла­за ослеп­ляя.

3. После того, как рас­се­я­лись тучи скор­би, я увидел небо и попы­тал­ся рас­по­знать цели­тель­ни­цу. И когда я устре­мил гла­за на нее и сосре­дото­чил вни­ма­ние, то узнал кор­ми­ли­цу мою — Алгебраическую Геометрию, под чьим при­смот­ром нахо­дил­ся с юно­ше­ских лет. Зачем, — спро­сил я, — о настав­ни­ца всех доб­ро­де­те­лей, при­шла ты в оди­но­кую оби­тель изгнан­ни­ка, спу­стив­шись с высо­ких сфер? Для того ли, чтобы быть обви­нен­ной вме­сте со мной и под­верг­нуть­ся лож­ным наве­там? — О мой пито­мец, — отве­ти­ла она, — раз­ве могу я поки­нуть тебя и не разде­лить вме­сте с тобой бре­мя, кото­рое на тебя обру­ши­ли те, кто нена­видит самое имя мое! Ведь не в обы­чае Алгебраическо­й Геометрии остав­лять в пути невин­но­го без сопро­вож­де­ния, мне ли опа­сать­ся обви­не­ний, и устра­шат ли меня новые наве­ты?

Итак, перепишем отображение Кодаиры-Спенсера. По теореме Дольбо, имеем H^{p,q} = H^q(\Omega^p), так что имеем право написать H^{1,0}(S, I) = H^0(K_S) и H^{0,1}(S, I) = H^1(O_S). Далее, по двойственности Серра имеем: T_I(Teich(S)) = H^1(T_{S, I}) = H^0(K_S^2)^* и H^{0,1}(S, I) = H^1(O_S) = H^0(K_S)^*. Отображение Кодаиры-Спенсера обещает быть как H^0(K_S) \x H^0(K_S^2)^* \to H^0(K_S)^*, или, что то же самое, H^0(K_S)^* \to H^0(K_S)^* \o H^0(K_S)^*. Следующую лемму я оставлю без доказательства:

---

При вышеописанных отождествлениях отображение Кодаиры-Спенсера KS: H^0(K_S)^* \to H^0(K_S)^* \o H^0(K_S)^* для кривой двойственно к отображению тензорного умножения сечений H^0(K_S) \o H^0(K_S) \to H^0(K_S^2).

---

Это утверждение в последние дни моего пребывания в Москве пытался мне втемяшить tiphareth, но за слабостью своего рассудка я понял, что он тогда имел ввиду, только теперь. Я, к стыду своему, поленился проверить его, но оно должно быть очевидно из представления классов H^1(T_S) как элементов фактора пространства тензоров A : TS \to TS со свойством AI + IA = 0 по пространству тензоров вида Lie_u(I), где u пробегает всевозможные гладкие векторные поля. В новых обозначениях искомое утверждение звучит следующим образом (сохраняя первобытную нотацию):

---

Пусть \alpha \in H^0(K_S) -- ненулевая голоморфная 1-форма, и \beta \in H^0(К_S)^* -- любой функционал на пространстве голоморфных 1-форм. Тогда существует функционал v \in H^0(K_S^2)^* такой, что функционал \beta представляется в следующем виде: \beta(x) = v(\alpha \o x).

---

Нулевой бог с ним, а ненулевой функционал с точностью до пропорциональности определяется своим ядром как гиперплоскостью, так что задача имеет следующую переформулировку: доказать, что для любой голоморфной 1-формы \alpha любая гиперплоскость в H^0(K_S) высекается гиперплоскостью в H^0(K_S^2) при отображении H^0(K_S) \to H^0(K_S^2), заданном как x \mapsto \alpha \o x. Но гиперплоскости, высекаемые гиперплоскостями в другом пространстве при отображении в него -- это в точности гиперплоскости, содержащие ядро этого отображения. Стало быть, наше утверждение сводится к тому, что отображение H^0(K_S) \to H^0(K_S^2), x \mapsto \alpha \o x, есть инъекция для любого \alpha \in H^0(K_S). Иными словами, теорема Торелли-Суханова эквивалентна следующему утверждению: симметрическое произведение ненулевых голоморфных 1-форм ненулевое. Это очевидно в силу конечности количества нулей у такого произведения. ■

Дальнейшее должно быть нехитро: если есть два класса, то они задают два g-мерных подпространства, пересекающихся по прямой, натянутой на их симметрическое произведение, и аннулятор этой раскоряки в двойственном пространстве имеет размерность g-2 (как и должно пересечение двух циклов имени Мирзахани), а общие три класса зададут три подпространства, из которых каждые два пересекаются только по прямой, а все вместе они распирают собою всё пространство голоморфных квадратичных дифференциалов. Это должно закончить историю с теоремой Хейхала-Тёрстона для многих дифференциалов, но додумать я пока не успел. Я и не начинал: то, с какой скоростью схлопнулась в тривиальность формулировка теоремы для одного дифференциала, наводит на мысль, что в этом рассуждении не может не скрываться ошибки. С тем, чтобы обнаружить её, я и выношу его на публику.