Голоморфные 1-формы с многими общими нулями
Мы знаем, что теорема Хейхала-Тёрстона верна не для любой пары 1-форм: именно, ранг отображения в изотропный грассманиан падает в точности в тех парах, для которых существует голоморфный квадратичный дифференциал, делящийся на обе 1-формы, но не равный скалярному кратному их произведения. Такого не может быть для форм без общих нулей. Если же у форм есть общие нули, то квадратичный дифференциал может обращаться в нуль в объединении нулей обеих форм, и где-то ещё. Будем называть такие пары 1-форм не взаимно простыми (а соответственно с обратным свойством -- взаимно простыми). Встаёт логичный вопрос: а как можно описать кривые, допускающие две не взаимно простые 1-формы?

Сперва заметим, что если у двух канонических дивизоров имеется всего m различных нулей, то разность этих дивизоров есть дивизор функции с m нулями и m полюсами, так что гональность такой кривой не превосходит m. В частности, канонический дивизор однозначно восстанавливается по любым своим 2g-3 точкам. Для g = 2 это хорошо известно: сопоставление на кривой рода два точке x точки f(x) такой, что x + f(x) есть канонический дивизор, есть каноническая гиперэллиптическая инволюция, отображение факторизации по которой есть каноническое отображение в P^1. Итак, на кривой рода два любые две 1-формы не имеют общих нулей, в частности взаимно просты.

Заметим также, что не взаимно простые формы не могут иметь и мало общих нулей: в самом деле, пусть нули одной это x_1, x_2, ... x_m, x_{m+1}, ... x_{2g-2}, а другой -- y_1 = x_1, y_2 = x_2, ... y_m = x_m, y_{m+1}, ... y_{2g-2}. Тогда у квадратичного дифференциала, делящегося на ту и на другую форму (сиречь обнуляющегося во всех их нулях), но отличного от их произведения, имеются нули x_1 = y_1, ... x_m = y_m, x_{m+1}, ... x_{2g-2}, y_{m+1}, ... y_{2g-2}, z_1, ... z_m (пользуясь вольностю речи, буду считать, что кратных нулей нет -- в этой задаче это непринципиально). Но тогда частное этой квадратичной формы и произведения наших двух 1-форм будет рациональной функцией с нулями в z_i-тых и полюсами в x_i = y_i-тых. Итак, две невзаимно простыe формы не могут иметь ровно один общий нуль, и, вообще, меньше нулей, чем гональность кривой. В частности, на плоской квартике любые две 1-формы взаимно просты (замечу, что наличие не взаимно простых 1-форм на гиперэллиптической кривой рода три мы не доказали).

Эта оценка слишком слабая -- гональность общей кривой рода g равняется (g+3)/2. С другой стороны, на общей кривой рода g легко построить две 1-формы с g-2 общими нулями. В самом деле, канонический дивизор на кривой есть гиперплоское сечение её образа при каноническом отображении в P^{g-1}. Соответственно, если провести через g-2 точки на кривой проективное подпространство коразмерности два, то любые две гиперплоскости, через него проходящие, определят две 1-формы с как минимум g-2 общими нулями. На самом деле, правильным выбором секущего подпространства можно добиться большего: например, возьмём точку на кривой рода четыре, вложенной канонически в P^3, и посмотрим на все проходящие через неё прямую. Проекция с центром в этой точке определит отображение из кривой рода четыре в P^2. Образ его будет особым в силу формулы Римана-Гурвица; особенности его суть в точности хорды, проходящие через нашу точку, и ещё какие-то подсхемы длины более одного. С другой стороны, если на одной прямой будут лежать четыре точки, то проекция из этой прямой определяет на кривой гиперэллиптическую инволюцию. Стало быть, для общей кривой рода четыре железно есть два канонических дивизора с тремя общими нулями, но не более того. Аналогично, проецируя из P^{g-2} каноническую кривую рода g (по крайней мере для g \neq (d-1)(d-2)/2), можно получить две 1-формы с g-1 общими нулями. Соответственно, задача наша сводится к следующей: найти на кривой рода g четыре эффективных дивизора A, B, C, D степени g-1 таких, что дивизоры A + B, A + C и C + D канонические. Как пить дать такого не бывает, и знать это должны были ещё итальянцы, но почему-то не доказывается. А литература -- бог с тобой, какая тут может быть литература.

Но отрадно впрочем другое обстоятельство: пары дифференциалов это проективные подпространства коразмерности два для канонического вложения, а для открытого по Зариски подмножества в грассманиане Gr(2,g) никакого пересечения с кривой у такого подпространства нету. Стало быть, множество пар дифференциалов без общих нулей впрямь-таки открыто, а тем паче и множество пар взаимно простых дифференциалов.