Тут есть некие философские глубины мысли.
С одной стороны - не могу, оно уже произошло, какая тут вероятность.
С другой стороны - я могу оценивать вероятность для независимых "однотипных" событий, не глядя на предыдущие исходы - вероятность выпадения "решки" при каждом новом бросании монетки равна 1/2, сколько бы раз её не бросали и что бы раньше не выпадало. Бросание точки на отрезок - точно такое же "однотипное" и независимое событие, как и бросание монетки, предсказания не меняются от факта бросания.
С третьей стороны - для уже свершившегося события (вот этого конкретного бросания) вероятность вводить уже поздно - оно уже произошло. Но если перенестись во времени назад, до момента бросания - тогда вероятность ведь была, правда? И любое событие из множества допустимых событий - допустимо, тсзть, "по построению"?

> Поэтому я могу с уверенностью утверждать, что попасть иголкой в точку с координатами (1/пи, 2/е) ты никогда не сможешь.

А откуда ты знаешь, может именно туда и попаду? Ты умеешь предсказывать будущее? ;-)

Давай рассмотрим множество. Множество твоих ответов на мои вопросы "могу ли я попасть в точку x следующим броском", где x составляют полное множество действительных чисел в диапазоне [0..1]. Будет ли это множество ответов состоять только из ответов "нет" (тогда как это согласуется с тем, что куда-то я всё-таки попаду)? Или в нём будут и ответы "да" - но тогда каков критерий отбора точек, ведь ты утверждаешь что как минимум для 1/pi и 2/e ответом будет "нет"?
Так чтааа...

Ты опять забыл про предельный переход и континуумность множества точек. А континуум - это настолько большая штука, что к ней термин "попаду/не попаду" в "бытовом" смысле применять не только нельзя, но и опасно - получаешь парадоксальные выводы. Типа как про Ахилла, который никогда не сможет догнать черепаху.

Понимаешь, точек в круге настолько дофига, что пренебрегать этим "дофига", заменяя его на просто "очень много" нельзя.

Так зачем навязчиво вытаскивать меня в "бытовой смысл", а потом объяснять, что это неверно? Я нигде на "бытовой смысл" не переходил, везде рассматриваю чисто математическую, "идеальную", ситуацию - точек не "очень много" а бесконечно много ("не сосчитать" - множество не счётное), ну и так далее. Я ведь не зря на математический формализм с теми же множествами перехожу - с формализмом руками в воздухе не поразмахиваешь, придётся доказывать предметно.

Не вытаскивая меня в "бытовой смысл", тем более что я сам против этого - можешь ответить на уже заданные вопросы? Напомню: моё исходное утверждение, с которым не согласился nlothik@lj, было в том, что событие с нулевой вероятностью, например выпадение определённого числа при бросании точки на отрезок, не является невозможным.

Прежде чем я отвечу, надо определиться с терминами - вырази "невозможное событие" в тех же терминах, что и "событие с нулевой вероятностью"?

И да, определение "событие, которое не может произойти никогда" - это не те термины.

Невозможное событие - событие, которое в принципе не может произойти (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5) (в рамках рассматриваемого эксперимента). Википедия уточняет, что это "событие, не содержащее ни одного элементарного исхода (что соответствует «пустому множеству» Ø в пространстве элементарных исходов)", но поскольку всегда можно возразить, что "исход в множество можно и вписать, это не значит что он от этого начнёт происходить", эту часть определения я приведу "для справки", не как часть своего представления о невозможном событии.
Так, в рамках _теоретического_ эксперимента с бросанием монеты невозможным событием считается "встанет на ребро", хотя при _практическом_ бросании реальной монеты это событие возможно. Я сейчас хочу рассматривать чисто теоретическую задачу - бросание точки на отрезок действительных чисел [0..1] - там, например, невозможным событием будет "точку уронили на пол и потеряли" или "кинули слишком сильно и выпало 1.0075".

"Cобытие с нулевой вероятностью" - событие, вероятность которого (предел отношения числа произошедших событий к числу попыток при числе попыток стремящемся к бесконечности) равна нулю.

> определение "событие, которое не может произойти никогда" - это не те термины

О даже как. Ну уж извини, других (более "низкоуровневых", что-ли) терминов не знаю.

Если такое определение чем-то не устраивает - то предлагаю поменяться ролями: ты даёшь своё определение "невозможного события" (при котором событие с нулевой вероятностью оказывается невозможным, но которое, естественно, не совпадает дословно с "событием с нулевой вероятностью" - иначе пропадёт сама суть спора), а я на него посмотрю.

Ага. С этим определением я согласен. Тогда действительно, событие с нулевой вероятностью не тождественно невозможному событию. Типа, при бросании точки на отрезок [0..1] событие "выпадет 1.0075" - невозможное.

Тогда, продолжая определяться с терминологией, событие с нулевой вероятностью - это то событие, которое никогда не произойдет, хотя и является возможным. В том же примере это, например, событие "выпадет 0.0075", которое в принципе возможно, но никогда не выпадет. Даже если бросать точку миллион раз в секунду в течение жизни Вселенной.

И я уже запутался, с чего мы начали и чего хотим выяснить.

> событие с нулевой вероятностью - это то событие, которое никогда не произойдет, хотя и является возможным

Событие с нулевой вероятность - событие, которое скорее всего не произойдёт за конечное время (а для более чем счётных множеств исходов - и за бесконечное), хотя и является возможным. Как мы видим, как только пространство исходов становится бесконечным - вероятности отдельных исходов как правило зануляются (аналогия с "площадью точки"), но сами исходы происходят, куда ж они денутся-то :-) При этом то, что какой-то исход реально произошёл - на вероятность (как на предел) не влияет: 1/inf точно так же равно нулю, как и 0/inf или 10000/inf.
Поэтому и нужна оговорка "скорее всего" (и оговорка про конечное время или мощность множества исходов - inf/inf всё-таки не всегда оказывается определённым :-))

> И я уже запутался, с чего мы начали и чего хотим выяснить.

Ну, я привел некий тривиальный факт из теории вероятности, nlothik@lj с ним не согласился, дальше "слово за слово"...
Если против утверждения "событие с нулевой вероятностью не является невозможным" возражений нет - то на этом можно и закончить :-)

>Событие с нулевой вероятность - событие, которое скорее всего не произойдёт за конечное время
Нет, событие, которое скорее всего не произойдет - это событие с очень низкой, мало отличающейся от нуля вероятностью. Событие с нулевой вероятностью не произойдет никогда.

Здесь, как и раньше, под "событием с нулевой вероятностью" я подразумеваю заранее выбранное событие из бесконечного множества (равновероятных, хотя и не обязательно) событий.

"Ну девочка, ну %б твою мать"(с) анекдот. Вроде только договорились, что "событие с нулевой вероятностью не тождественно невозможному событию" (ты, пару комментов назад) - ан нет, опять что-то не так.

> Событие с нулевой вероятностью не произойдет никогда

Раз уж взялся спорить с, тсзть, основами - ответь наконец на заданный мной уже давно вопрос. Повторю вопрос, чтобы не искать:

Пусть мы бросаем точку на отрезок [0..1].
Рассмотрим множество. Множество твоих ответов на мои вопросы "попаду ли я в точку x следующим броском" (да/нет/не_знаю), где x составляют полное множество действительных чисел в диапазоне [0..1]. Поскольку вероятность выпадения любого "х" равна нулю, множество твоих ответов должно состоять только из ответов "нет" - иначе получалось бы, что есть такие события, вероятность которых нулевая, но для которых ты признаёшь возможность "произойти" вот прямо сейчас, при следующем бросании (ответ "не_знаю" допускает такое событие; "не произойдёт никогда" означает что "и при следующем броске тоже не произойдёт", и потому соответствует ответу "нет").
Теперь я бросаю точку. Выпадает какое-то число, обозначим его Y. Я беру множество твоих ответов, нахожу ответ, соответствующий вопросу "попаду ли я в точку Y следующим броском", предъявляю тебе твой же ответ "нет", и прошу пояснить сложившуюся ситуацию: согласно твоему утверждению попасть в точку Y я никак не мог, однако же как-то попал.

Хм?

Повторяю.
Множество точек отрезка [0..1] имеет континуальную мощность (с кардинальным числом как минимум алеф-раз, в зависимости от выбора системы аксиом). Соответственно, полное множество ответов на твои вопросы я не смогу дать никогда, т.к. давать ответы с бесконечной скоростью я не могу, а любая конечная скорость приводит к тому, что даже за бесконечное время я смогу дать ответ только на счетное число вопросов, т.е. мощностью не более алеф-ноль.

Осторожнее с континуумами, осторожнее. Или ты не знаешь доказательства, что элементов в множестве [2..+inf] не существует?

Я ждал подобного ответа (см. тж. финитизм (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%BC)).
Аналогично рассуждая, можно "доказать" несуществование самого отрезка [0..1] - ведь это множество точек более чем счётно, а значит при попытке его "построить", даже за бесконечное время будет перечислена только часть элементов этого множества. Ну, а если нет отрезка - то и точку бросать некуда, и событий вида "точка попала в отрезок" не бывает. И чего эти математики вообще с бесконечными множествами голову дурят - их же нельзя выписать на бумажку, сколько не пиши...

Если чуть серьёзнее - теория множеств вовсе не требует, чтобы множество обязательно было "полностью построено" заранее (даже счётное множество за конечное время "построить" нельзя) - достаточно, чтобы было правило, описывающее принадлежность элемента множеству (и это правило было "правильным" - однозначным, нерекурсивным, не зависящим от самого множества (привет "парадоксу парикмахера"), не знаю какие точно требования есть в аксиоматической теории множеств). То есть рассматривать множество твоих ответов я имею право в любом случае, точно так же как имею право рассматривать множество "логарифмов всех действительных чисел от 0 до 1" - ведь на его построение аналогично понадобится время "более чем бесконечность".
И, соответственно, бросив точку на отрезок, и получив число Y, я имею право задать вопрос: "если бы я спросил тебя минуту назад, могло ли выпасть Y - что бы ты ответил?" И при ответе "нет" - попросить пояснений, как же так, а при ответе "да" - спросить "НО ОТКУДА БЫ ТЫ ЗНАЛ?!?!" :-)

> Или ты не знаешь доказательства, что элементов в множестве [2..+inf] не существует?

Ээээ... первый раз слышу, всегда считал что множество [2..+inf] существует (за исключением квадратной скобки справа - _элемент_ под названием +inf в такое множество обычно(*) не включают, в разных записях это обозначается либо [2..+inf[ либо [2..+inf)), и его элементами являются, собственно, числа от 2 и до "дофига".
Где можно прочитать про такое доказательство?

(*) ...никто не мешает взять множество [2..+inf[, и сказать "а теперь я добавляю в него некую херь, которую обозначу +inf - и получится вполне легитимное множество. Единственный нюанс - это не будет множеством чисел, это будет множеством чисел и некоей хери.

>Ээээ... первый раз слышу

Рассказываю.
Пусть есть три множества: X=[0..1], Y=[1..+inf) (да, квадратную скобку я в прошлый раз по инерции поставил), Z=[1..2]
Между ними можно составить следующие взаимно однозначные соответствия: x=1/y; x=z-1
Из первого следует, что количество элементов в множествах Х и Y равно. Из второго - что равно количество элементов в множествах X и Z. Из транзитивности равенства заключаем, что количество элементов в множествах Y и Z тоже равно. Но множество Z является подмножеством Y. Следовательно, все элементы множества Y собраны на отрезке [1..2] и на интервале (2..+inf) элементов быть не может.

Это (очевидно неверное) рассуждение иллюстрирует твою ошибку, пытаясь оперировать континуумами, как конечными, хотя и очень большими множествами.

И да, слова "заранее выбранное" в определении вероятности события существенны.

Ну да, один из классических примеров неправильных рассуждений вида "множество [0..2] в два раза больше, чем [0..1], а элементов столько же, значит это всё фигня и не работает". Но какое это отношение имеет к моим рассуждениям - я-то где ошибаюсь, рассматривая (бесконечное, континуальное) "множество твоих ответов"? Я же могу рассматривать "множество значений логарифмов чисел (0..1]", и ничего мне за это не будет? Чем "множество ответов" принципиально отличается от "множества логарифмов"?

> И да, слова "заранее выбранное" в определении вероятности события существенны.

Вероятность события зависит от того, выбрано ли событие заранее, или нет? А это как??

>Чем "множество ответов" принципиально отличается от "множества логарифмов"?
Тем, что вероятность - это не логарифм, и после момента свершения события автомагически становится равной единице (если событие совершилось) или нулю (если не совершилось).

Нельзя, нельзя выбрать событие "постфактум" и посчитать его вероятность "как бы если вдруг мы еще опыт не провели, а вдруг хотим узнать, совершится событие или нет". Вероятность считается только для еще не свершившегося события.

Событие ещё не произошло, я строю множество ответов на вопрос "выпадет ли Y при _следующем_ броске". После этого я "замораживаю" множество (имею право, точно так же как имею право рассматривать "множество членов КПРФ по состоянию на 7 ноября 1986 года"(*)), и произвожу бросок. В чём проблема-то?

> Вероятность считается только для еще не свершившегося события.

Ну вот я сейчас задаю вопрос (и жду на него ответа). "Если бы я минуту назад спросил, выпадет ли при следующем броске (который я сделал вот только что, за секунду перед тем как задать вот этот вопрос) число Y, что бы ты ответил тогда, минуту назад"?
Жду ответа (произвольного, необязательно "да/нет/не_знаю"). Отсутствие ответа на этот вопрос считаю завершением дискуссии.

(*) оно не бесконечно, но это пофиг - просто мне лениво придумывать его бесконечный аналог.

>имею право, точно так же как имею право рассматривать "множество членов КПРФ по состоянию на 7 ноября 1986 года"
Не имеешь. ;)

Ты, кстати, вообще не имеешь права подменять множество ответов на вопрос "какова вероятность того, что при следующем броске выпадет число х" на множество ответов "выпадет ли х при следующем броске (да/нет/не знаю)" для континуумных множеств. Так же, как ты не имеешь права заменить вопрос "какова длина точки х" на вопрос "длина точки х равна нулю? (да/нет/не знаю)". Потому что ты заменяешь меру на некий булев флажок, что, возможно, допустимо для конечных (и, вероятно, для счетных) множеств, но не для несчетных. Ведь несмотря на то, что длина каждой отдельно взятой точки действительно равна нулю, длина отрезка, состоящего из этих точек, нулю не равна. Что можно объяснить, например, мерой Лебега, но никак не суммой булевых нулей.

>Ну вот я сейчас задаю вопрос
В N+1-й раз повторяю, что вопрос некорректный. Ты уже совершил опыт. Получил результат. Если так понятнее, "схлопнул" вероятность и теперь спрашиваешь меня не про некий гипотетический будущий опыт, а про уже полученный результат.

Да, вероятность попасть в любую точку на отрезке равна нулю. Да, при каждом броске ты попадешь в какую-то точку. И нет, ты не сможешь попасть в _заранее_, мать ее ети, _выбранную_ точку за любое количество опытов (потому что множество опытов счетно, а мера любого счетного подмножества на континууме равна нулю).

> Не имеешь. ;)

Почему? Ссылку на нарушаемые мной при этом постулаты, ну или хотя бы просто объяснение - в студию!

> Ты, кстати, вообще не имеешь права подменять множество ответов на вопрос "какова вероятность того, что при следующем броске выпадет число х" на множество ответов "выпадет ли х при следующем броске (да/нет/не знаю)" для континуумных множеств.

А пальчиком в то место, где я подменяю - можно ткнуть? Пока я вижу, что я с самого начала говорил о множестве "выпадет ли Y" (в самый первый раз - о множестве "может ли выпасть Y", что не сильно отличается по сути), и ни разу не упоминал о "множестве вероятностей".
Так что - отлично, это здорово что я не могу подменять одно другим - я и не подменяю! Теперь твоя очередь! :-)

> Потому что ты заменяешь меру на некий булев флажок, что, возможно, допустимо для конечных (и, вероятно, для счетных) множеств, но не для несчетных

Опять не понимаю.
Я ведь имею право задать вопрос "какова длина точки" (терминология твоя) и получить численный ответ?
Я имею право задать вопрос "равна ли эта длина нулю" и получить "булевый" ответ?
Что мешает мне составить множество из этих ответов? Что именно я при этом нарушаю?? Чем булевые функции хуже численных???

> В N+1-й раз повторяю, что вопрос некорректный.

Оооок. Продолжаем разговор :-)
Следующий мой вопрос: "через минуту (ладно, для надёжности - через час) я собираюсь бросить точку на отрезок [0..1]. Как ты считаешь, выпадет ли при этом в точности число Y (да/нет/не_знаю)?"
Если это тоже некорректный вопрос - просьба пояснить, почему.

> Ты уже совершил опыт. Получил результат. Если так понятнее, "схлопнул" вероятность и теперь спрашиваешь меня не про некий гипотетический будущий опыт, а про уже полученный результат.

Это не так. Перечитай вопрос ещё раз - я спрашиваю не про полученный результат, а про твою собственную оценку возможности этого результата минуту назад, до совершения опыта. Ведь минуту назад ты существовал, знал о предстоящем опыте, и у тебя были какие-то представления о возможности результата? Вот мне и интересно, какими они, эти представления, были минуту назад :-) Какие они сейчас - меня (пока) не интересует.

Сорри, у меня никак руки не дойдут до ответа. И еще неделю (до рождества включительно) не дойдут. Если еще интересно - могу потом отписаться.

В принципе, как хочешь. Для меня эта дискуссия - что-то вроде иллюстрации стиха "движенья нет, сказал мудрец брадатый, другой же встал, и стал пред ним ходить". Вот как бы ты доказал существование движения тому, кто его отрицает? Как именно я хочу доказать, что те события, которые происходят - не могут считаться невозможными, я (пока) примерно представляю, но философские споры - это всё-таки философские споры :-)

Так что - тему помню, в любой момент готов возобновить :-)