зачем ты умер, иван

да, теорема Кронекера-Вебера хорошая, только не только с циклической группой Галуа, а с любой абелевой. контрольный вопрос: построить числовое поле с группой Z/2Z+Z/2Z и вложить его в круговое :) элементарное доказательство, кстати, не такое уж и сложное, в Леммермейере оно даже для квадратичных полей дано в упражнениях (т.е. доказательство, которое обобщается для всех абелевых числовых полей; сам факт, что квадратичное поле вкладывается в поле корней из единицы, был известен ещё Гауссу - квадрат суммы его имени есть простое число, можно выразить простое число как квадрат произведения тангенсов, а по-научному можно сказать так: группа Галуа корней простой степени из единицы есть Z/(p-1)Z, там внутри сидит Z/2Z - это и есть наш корень из p, потому что дискриминант подполя делит дискриминант поля) - всё-таки её почти доказал Вебер и совсем доказал Гильберт, когда ещё никакой теории полей классов не было, и даже существование поля классов было гипотезой, которую доказал, кажется, Фуртвенглер.
P.S. книжка Леммермейера лежит на колхозе

ну, не совсем через когомологии, но научное доказательство действительно есть, через башню полей и след :)