>> When I learned linear algebra I made sure I understood the geometric meaning of every single definition, theorem, and proof. For example, an element of a vector space is a vector or a 1-dimensional subspace with an oriented metric, an element of the dual vector space is a hyperplane with an oriented metric on its “complement”, i.e., the factor space <...>

А как дать формальное определение этой ориентированной метрики и как отождествить векторы с одномерными подпространствами?

(Reply to this) (Thread)

Ненулевой элемент двойственного пространства V
имеет ядро W коразмерности 1
и задаёт изоморфизм V/W→k.
Этот изоморфизм задаёт ориентацию и метрику на V/W,
что можно интерпретировать как ориентированную _меру_ V/W
(слово metric — опечатка, я имел в виду measure).

Всё это становится существенно более полезным для внешней алгебры:
ненулевые разложимые элементы внешней алгебры двойственного пространства V
имеют ядро W произвольной коразмерности и ориентированную меру на V/W.

Ориентированная мера для произвольного векторного пространства U
проще всего определяется как элемент det(U)=Λ^top(U),
но для вещественных векторных пространств легко дать определение
и без детерминантов.

Аналогично, ненулевые разложимые элементы внешней алгебры пространства V
(без двойственности) можно задать как подпространство W
вместе с ориентированной мерой на W*.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А размерность при таком подходе определяется как максимальная длина разложения пространства в прямую сумму одномерных подпространств?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Размерность можно много как определять,
например, как длину максимальной цепочки строго возрастающих подпространств.

Впрочем, если хочется без изменений распространять это на более
общие объекты, вроде векторных расслоений,
то требуются другие определения,
вроде следа тождественного оператора.

(Reply to this) (Parent)