Dmitri Pavlov - Обновление манифеста
January 24th, 2011
10:17 am

[Link]

Обновление манифеста
Прошло два года с момента публикации моего «манифеста» (терминология не моя) об изложении математики,
и настало время для обновления, которое выложено в виде ответа на MathOverflow.

Основные отличия:

  • Отказ от модельных категорий в пользу (∞,1)-категорий.
  • Я всё больше убеждаюсь в том, что теоретико-множественный формализм
    топологических пространств — это исторический курьёз,
    и формализм локалей подходит для тех же целей гораздо лучше.
    Например, при его использовании мы автоматически получаем
    эквивариантные и семейственные версии соответствующих теорем
    (Хана-Банаха, Гельфанда-Наймарка, Банаха-Алаоглу и других).
    Как побочный эффект, отпадает всякая необходимость в аксиоме выбора,
    лемме Цорна и им подобных.
    Области применения включают в себя общую топологию, теорию меры,
    коммутативную алгебру, алгебраическую геометрию, алгебраическую топологию,
    топологические векторные пространства, операторные алгебры и многие другие.

Tags:

(121 comments | Leave a comment)

Comments
 
[User Picture]
From:[info]akater
Date:January 24th, 2011 - 06:38 pm
(Link)
> Я всё больше убеждаюсь в том, что теоретико-множественный формализм
> топологических пространств — это исторический курьёз,
> и формализм локалей подходит для тех же целей гораздо лучше.

ВНЕЗАПНО, по мотивам рассуждений на эти темы, я несколько недель назад тоже решил, что курьёз. ) Но про локали знаю только поверхностно.

А про локали какие тексты, по-Вашему, лучше всего читать 1) тем, кто уже пришёл к выводу, что курьёз и 2) тем, кто ещё даже не знаком с теоретико-множественным формализмом?

> Как побочный эффект, отпадает всякая необходимость
> в аксиоме выбора, лемме Цорна и им подобных.

А вот если так, то это вообще очень круто. Но как-то не верится. Не может же потребность в аксиоме выбора уйти в никуда.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 24th, 2011 - 06:47 pm
(Link)
С текстами как раз проблема — не зря ведь я включил в список общую топологию.
Но вообще есть книга Johnstone-а Stone Spaces,
и две его пропагандистских статьи
The point of pointless topology и ещё одна.

>Не может же потребность в аксиоме выбора уйти в никуда.

Она уходит в доказательство того, что многие локали
(например, компактные) являются spatial, то есть
приходят из обычных топологических пространств,
или, что тоже самое, имеют достаточно точек.
Но для приложений это совершенно неважно
и даже бесполезно.
[User Picture]
From:[info]akater
Date:January 24th, 2011 - 06:54 pm
(Link)
> С текстами как раз проблема — не зря ведь я включил в список общую топологию.

Ах, и правда, — по ссылке-то на MathOverflow я и не сходил.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2011 - 04:24 am
(Link)
Ещё внизу справедливо упоминают третий том Borceux.
Я читал, хорошо написано, но мало.
[User Picture]
From:[info]oort
Date:January 24th, 2011 - 09:09 pm
(Link)
В третьем томе справочника по категорной алгебре вроде неплохо по локали, самая первая глава.
Еще про меру через модулярные алгебры Ямагами было бы очень интересно почитать, с операторными алгебрами не знаком (и скептиченпчему-то к ним, область обширная и эзотерическая, и привлекает одновременно).
И если есть интерес отвечать на такого сорта вопросы, может быть кратко изложите апологию операторных алгебр, почему Вы их изучаете и какие общематематические результаты (что бы это ни значило) они дали.
Потому что все мне известные вещи (многочлены Джонса, cyclic homology) хоть и вышли исторически из о.а., были потом изложены очень просто в других, более естественных контекстах, и вобщем ничего специфически операторноалгебраического не содержат.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2011 - 04:51 am
(Link)
Про меру я уже написал на MathOverflow.


Современные теория операторных алгебр является
простейшим подходом к некоммутативной геометрии,
в частности, к некоммутативной топологии (C*-алгебры),
некоммутативной теории меры (алгебры фон Нойманна),
и особенно к некоммутативной дифференциальной геометрии
(спектральные тройки).
По-другому это пока и излагать не умеют.

Вообще приложений куча.
Например, некоммутативная геометрия
может нормально изучать факторпространства, которые
обычным способом изучить нельзя (например, тор,
профакторизованный по кривой с иррациональным наклоном).
А ещё есть приложения к ренормализации и стандартной модели в физике,
теории чисел и мотивам, и многие другие.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 26th, 2011 - 08:28 pm
(Link)
Вы считаете, что некоммутативные факторы реально полезны?:)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 26th, 2011 - 08:35 pm
(Link)
Полезны для чего?
Они активно используются в физике,
в частности в квантовой теории поля.

Встречный вопрос: А мотивы — реально полезны?
Кстати, Connes некоммутативную геометрию и к мотивам активно применяет.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 26th, 2011 - 08:43 pm
(Link)
Про теорию поля не особо в курсе (хотя слышал, что ветер дует оттуда:)), спасибо. Вопрос в том - можно ли считать такие факторы полноценным расширением обычной алгебраической геометрии?:)

Мотивы якобы бывают интересны даже физикам.:) А так - они в последнее время стали языком, на котором имеет смысл говорить. Можно реально понимать какие-то новые вещи про разные когомологические теории.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 26th, 2011 - 08:48 pm
(Link)
Малость слажал: скорее, некоммутативные факторы надо сравнивать с комплексной униформизацией абелевых многообразий.:)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 27th, 2011 - 04:12 am
(Link)
Честно признаюсь, не могу понять, при чём здесь абелевы многообразия.
Нельзя ли поподробнее.
Фактор — это алгебра фон Нойманна с тривиальным центром,
в каком-то смысле это максимально некоммутативное
измеримое пространство.
Найти геометрические образы для фактора совсем не просто,
Конн в своей книге даёт примеры для слоений.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 27th, 2011 - 08:59 am
(Link)
Ну как, при чем - комплексный тор часто бывает абелевым многообразием.:)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 27th, 2011 - 05:53 pm
(Link)
А, понял, имеется ввиду фактор абелева многообразия по хитрому слоению.
[User Picture]
From:[info]udod
Date:January 24th, 2011 - 06:46 pm
(Link)
Когда упраздните арифметику - свистните пожалуйста.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2011 - 04:23 am
(Link)
Арифметику окончательно упразднил ван дер Варден в 1930 году.
А вот, скажем, теорию множеств Цермело-Френкеля упразднил Ловер в 1964 году.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 26th, 2011 - 08:44 pm
(Link)
А что совершил ВДВ в 1930 году?:)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 27th, 2011 - 04:10 am
(Link)
Очевидно, издал свой знаменитый учебник алгебры.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 27th, 2011 - 09:00 am
(Link)
А причем тут арифметика?:)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 28th, 2011 - 07:28 am
(Link)
Имеется ввиду древняя арифметика — кольцо целых чисел.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 28th, 2011 - 09:14 am
(Link)
И что с ней случилось - таблицу умножения отменили?:)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 28th, 2011 - 05:23 pm
(Link)
Если раньше теоремы доказывались для каждого
кольца (в частности, кольца целых чисел)
индивидуально, то начиная с книги ван дер
Вардена эта необходимость отпала.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 28th, 2011 - 06:25 pm
(Link)
Т.е. это только с этой книги пошло?:) Не знал.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 28th, 2011 - 06:45 pm
(Link)
А с какой ещё? В предыдущем широко распространённом учебнике алгебры (Вебер) этого не было.
From:(Anonymous)
Date:February 1st, 2011 - 09:33 pm
(Link)
теорию множеств Цермело-Френкеля упразднил Ловер в 1964 году.

к предложению различных версий формализма Ловера есть
стандартное возражение --- докажите теорему Рамсея в
вашей аксиоматике. насколько я знаю, оно разумно, т.е.
теорема Рамсея обычно доказать нелься.

можно, конечно, обсуждать, насколько теорема Рамсея важна и тд.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:February 2nd, 2011 - 02:06 am
(Link)
Никаких осмысленных возражений к формализму Ловера быть не может, ибо он включает
в себя Цермело-Френкеля.
Если какая-то теорема использует аксиому выбора,
то так и пишем, что она доказывается
для элементарных топосов, удовлетворяющих аксиоме выбора.
В случае теоремы Рамсея требуется выбор для счётных семейств конечных множеств — поэтому необходимо
и достаточно наложить соответствующее условие
на элементарный топос.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2011 - 05:16 am
(Link)
(Впрочем, после упразднения арифметики ван дер Варденом
арифметикой стали называть теорию чисел, а её в ближайшем времени
вряд ли упразднят.)
[User Picture]
From:[info]udod
Date:January 25th, 2011 - 07:15 am
(Link)
Разумеется я имел виду теорию чисел. Вообще конечно все меняется, кое-что (и много) забывается, но ничего не упраздняется. Возникают более удобные приемы мышления.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2011 - 03:59 pm
(Link)
Как раз более удобные приёмы мышления я и имел ввиду
под упразднением.
[User Picture]
From:[info]udod
Date:January 25th, 2011 - 08:15 pm
(Link)
Это где-то у манина хорошо сказано.
From:[info]beroal.livejournal.com
Date:January 24th, 2011 - 07:04 pm
(Link)
примерения
From:[info]ulysses4ever.livejournal.com
Date:January 24th, 2011 - 07:11 pm
(Link)
Добрая опечатка!
From:(Anonymous)
Date:January 30th, 2011 - 03:48 pm
(Link)
В комментариях к прошлой заметке было обсуждение линейной алгебры без координат, эта книга (http://sites.google.com/site/winitzki/linalg) заслуживает внимания?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 30th, 2011 - 05:45 pm
(Link)
Кажется немного странным, что в главе Linear algebra without coordinates
повсюду используются координаты.
Вообще, книга, очевидно, не является coordinate-free
— координаты используются постоянно.
Скорее, это книга с упором на внешнюю алгебру,
что, конечно, хорошо, но не совсем то.
From:(Anonymous)
Date:January 30th, 2011 - 07:57 pm
(Link)
Спасибо.
Извиняюсь, если вопрос был не в тему.
From:(Anonymous)
Date:February 1st, 2011 - 01:20 pm
(Link)
Интересная дискуссия:
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1448684.html

В частности:
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1448684.html?thread=50992364#t50992364
From:(Anonymous)
Date:February 3rd, 2011 - 02:52 pm

настоящая алгебра через координаты

(Link)
Книжка http://free-books.dontexist.com/book/index.php?md5=6C2B74482A83CA242795F6816B448A91
совершенно изумительна.
From:(Anonymous)
Date:February 3rd, 2011 - 03:19 pm

Re: настоящая алгебра через координаты

(Link)
точнее через категории! няшечно!
From:[info]measure_01
Date:February 4th, 2011 - 04:59 pm

Re: настоящая алгебра через координаты

(Link)
Ну она немного странная. С одной стороны категории есть, с другой — где надо не используются. Например, могли бы написать про теорему Кэйли как частный случай леммы Ионеды. Или теоремы про изоморфизмы вывести через свойства универсалов. Хотя я листал достаточно невнимательно, может что-то упускаю.
From:(Anonymous)
Date:February 6th, 2011 - 01:31 pm
(Link)
Дмитрий, простите что не по теме, может Вы, или ваши читатели, смогут помочь. Я школьник, с интересом прочитавший ваш блог с комментариями.
В школе твориться не пойми чего (я в обычной, общеобразовательной), планирую со следущего года, это будет 9 класс, перевестись на экстернат(войны с родителями продолжаются).
Подскажите наиболее адекватный учебник по школьной программе - по алгебре (Колмогоров, Виленкин, Мордкович etc) и по геометрии (Погорелов, Шарыгин, Александров etc)? спасибо
From:[info]dmitri_pavlov
Date:February 6th, 2011 - 05:55 pm
(Link)
Необходимо уточнить, для чего нужны учебники.
Есть разные варианты:
1) Для успешной сдачи экзаменов (ЕГЭ, как я понимаю?)
и последующего поступления в университет.
2) Для изучения математики с целью последующего её
использования в других науках.
3) Для изучения математики с целью последующего
обучения на математика.
From:(Anonymous)
Date:February 6th, 2011 - 07:23 pm
(Link)
Где-то между 2) и 3). Т.е. хочется прочитать такие учебники по алгебре и геометрии, чтобы дальше можно было осмысленно учится в физико-математическом вузе и читать соответствующие учебники по математике. Просто во многих блогах обсуждаются именно базовые институтские учебники по анализу, алгебре, геометрии (например, http://lj.rossia.org/community/studium/1717.html#cutid1 ), а что для них нужно знать, обсуждается очень редко. Также, например на сайте мцнмо можно найти много хороших книжек для старшеклассников, но они дополнительные, а хочется именно учебник, дающий стержень.

Просто для учащихся в экстернате моя школа "рекомендует" учебники (они совпадают с теми, по которым учатся в самой школе), и я хотел узнать, оптимальны ли они (в школе предлагают использовать Колмогорова по алгебре и Погорелова по геометрии).

Под ужасный ЕГЭ буду ходить на курсы.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:February 6th, 2011 - 11:02 pm
(Link)
Я никогда не учил школьников математике
и вполне может быть так, что мой совет никуда
не годится, но после обдумавания этого вопроса
я пришёл к выводу, что в качестве «стержня»
достаточно изучить всего одну книгу:
Гельфанд, Шень: Алгебра.
http://www.mccme.ru/free-books/shen/algebra.djvu

После этого можно осваивать «школьную программу»
Вербицкого (http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/programma.html),
которая на самом деле является содержательной
частью того, что изучают на мехмате и матмехе
в обязательных курсах.

Надо, однако, сказать, что одного очень важного понятия
в книге Гельфанда и Шеня нет.
Речь идёт о функциях.

Я не знаю хороших пособий, где нормально
объяснялись бы функции, но это не значит, что их нет.
Возможно, кто-нибудь подскажет?

С другой стороны, я ничего не знаю про ваш уровень,
если вы и так знаете алгебру в объёме Гельфанда-Шеня
и уверенно владеете функциями и минимальной культурой доказательств,
то скорее всего можно сразу приступать к изучению школьной программы Вербицкого.

Комментарии по нынешней школьной программе:
1) В школе иногда изучают «начала анализа».
Эту часть можно игнорировать, так как в университете всё это изучается заново,
а в школе всё это изучают без доказательств и весьма уродливо.
2) Школьная программа по алгебре включает в себя огромное количество
приёмов для решения уравнений и неравенств с корнями, логарифмами,
тригонометрическими функциями и так далее.
Всё это пригодно исключительно для подготовки к ЕГЭ,
в математике и в её приложениях нет ничего даже отдалённо напоминающего эти трюки.
3) Всё, что связано с тригонометрией (например, тригонометрические тождества)
радикально упрощается при переходе к комплексным числам,
для чего достаточно изучить комплексную экспоненту и логарифм.
Соответствующая часть школьной программы также пригодна только для ЕГЭ.

По причине пунктов 1–3 мне не нравится учебник Колмогорова для последних двух классов школы.

4) Тоже самое относится и к школьной программе по геометрии.
Книги Погорелова имеет смысл читать разве что для подготовки к ЕГЭ.
В математике вместо этого используют линейную алгебру, которая гораздо эффективнее
и проще в изучении.

Полезная дополнительная литература:
Зельдович, Яглом: Высшая математика для начинающих физиков и техников.
Алексеев: Теорема Абеля в задачах и решениях.

Все книги есть в электронном виде на gen.lib.rus.ec.
From:(Anonymous)
Date:March 18th, 2011 - 08:36 am

Помощь пожалуйста

(Link)
загрузите снова

Schrijver A. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency. 3 vols.
2003. Springer
Vol.A: Paths, Flows, Matchings. Chapters 1-38. 648 p.
Vol.B: Matroids, Trees, Stable Sets. Chapters 39-69. 572 p.
Vol.C: Disjoint Paths, Hypergraphs. Chapters 70-83. 662 p.

_http://rapidshare.com/files/27651350/Sxrejver2.rar
_http://rapidshare.com/files/27649844/Sxrejver1.rar links are dead

Спасибо
From:[info]dmitri_pavlov
Date:March 18th, 2011 - 08:39 am

Re: Помощь пожалуйста

(Link)
Что куда загружать?
Схрейвер есть здесь:
http://free-books.dontexist.com/get?nametype=orig&md5=7424101C9606C8381BC1DF24DDD7EE92
From:(Anonymous)
Date:March 18th, 2011 - 12:20 pm

Re: Помощь пожалуйста

(Link)
я сожалею. данная книга внутри является 'A Course in Combinatorial Optimization by Schrijver A. - ' но необходимый ' Schrijver A. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency. 3 vols.
2003. Springer' пожалуйста помогите. спасибо
From:[info]dmitri_pavlov
Date:March 20th, 2011 - 02:55 am

Re: Помощь пожалуйста

(Link)
Есть подозрение, что этот трёхтомник вообще может быть неотсканированным.
From:(Anonymous)
Date:March 20th, 2011 - 06:12 am

Re: Помощь пожалуйста

(Link)
Это давалось в звене on april 2007 ...." _http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/2022.html_
From: victormi@lj
Date: April 24th, 2007 - 04:44 am

А. Схрейвер:
(Link)
Забирайте
_http://rapidshare.com/files/27651350/Sxrejver2.rar
_http://rapidshare.com/files/27649844/Sxrejver1.rar

"
пожалуйста предложите ссылку. спасибо
From:[info]dmitri_pavlov
Date:March 20th, 2011 - 06:37 am

Re: Помощь пожалуйста

(Link)
Это «Теория линейного и целочисленного программирования»,
а не трёхтомник.
From:[info]potan
Date:July 18th, 2011 - 02:11 pm
(Link)
4) Красоту аксиоматического подхода к геометрии я оценил в девятом классе, когда мой учитель рассказал про конечные геометрии и их использование в теории кодирования. Есть много приемов, связанных с проективной геометрией, которые упрощают дальнейшие алгебраические вычисления и дают полезный матфизикам навык такого упрощения. Само геометрическое решение геометрических задач тренирует воображение, полезное и в жизни, и во многих науках.
По моему, отказываться от геометрии в пользу линейной алгебры, это примерно то же самое, что отказаться от обучения письму ручкой в пользу работы на клавиатуре - на грамотности теоретически не отразиться, но вот развитие тонкой моторики потеряется, что приведет к ослаблению многих интеллектуальных способностей.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 18th, 2011 - 07:46 pm
(Link)
Мне кажется, вы не совсем правильно понимаете
смысл моего высказывания «В математике вместо этого используют линейную алгебру, которая гораздо эффективнее и проще в изучении.»
В связи с этим, рекомендую сначала ознакомиться
с соответствующей программной записью:
http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/10252.html

Определение конечных геометрий гораздо ближе к определениям линейной алгебры,
нежели к аксимам Эвклида.
Что при этом имеется ввиду под «аксиоматическим» подходом к геометрии, я не очень понимаю.
Разве обычные опеределения векторного, афинного,
и проективного пространств не являются «аксиоматическими»?

>Есть много приемов, связанных с проективной геометрией, которые упрощают дальнейшие алгебраические вычисления

И доказать верность этих приёмов проще всего
в современном формализме.

>Само геометрическое решение геометрических задач тренирует воображение, полезное и в жизни, и во многих науках.

Я уже устал повторять, что я не предлагаю отказываться
от геометрического воображения/интуиции.
Более того, современный подход гораздо лучше
соотносится со воображением и интуицией,
чем подход Эвклида.
Если в подходе Эвклида надо долго думать
и доказывать (нетривиальным образом!),
что система аксиом задаёт
плоскость однозначно, то в современном
подходе такой проблемы нет — там сразу всё очевидно.

Кстати, а вы можете правильно воспроизвести
список из всех 20 аксиом Эвклида?
Мне, как вы понимаете, особых трудностей
процитировать определение векторного пространства
не составит.

Могу только напомнить, что первым, кто сумел
правильно выписать все аксиомы в подходе Эвклида,
был Гильберт, и ему это удалось сделать со второго
раза — в первом варианте нашёл ошибку Пуанкаре.

>По моему, отказываться от геометрии в пользу линейной алгебры, это примерно то же самое, что отказаться от обучения письму ручкой в пользу работы на клавиатуре - на грамотности теоретически не отразиться, но вот развитие тонкой моторики потеряется, что приведет к ослаблению многих интеллектуальных способностей.

Отказываться предлагается от устаревшего формализма
линейной алгебры в пользу современного формализма.
Картинок в линейной алгебре, между прочим,
рисуют не меньше, чем в геометрии, если учебник хороший.
From:[info]akapinus
Date:February 7th, 2011 - 01:08 pm
(Link)
В качестве «стержня» можно рекомендовать книгу:
Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика?

Если Вы находитесь в Москве или Питере, всячески рекомендую записаться на спец. курсы в спец. школу. Ибо самому изучать математику будучи школьником почти невозможно (если вообще невозможно)
From:[info]agrin
Date:February 8th, 2011 - 10:23 pm
(Link)
Да, да, Курант - Роббинс прекрасен, его надо обязательно читать, как стержень вполне сгодится (и в указанном списке кстати есть)
From:[info]measure_01
Date:April 6th, 2011 - 11:50 am
(Link)
Как вам эта книжка: http://sites.google.com/site/grassmannalgebra/ ?

Там полно воды и она явно не для математиков, но повсеместно используются близкие вам идеи — например, внутреннее произведение подается как пересечение площадок.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:April 6th, 2011 - 07:38 pm
(Link)
Читать её я бы не стал — 759 страниц заполнены водой.
[User Picture]
From:[info]bananeen
Date:April 25th, 2011 - 04:43 am
(Link)
Dmitry, в комментариях проскакивало упоминание составленного вами списка книг для изучения. Не могли бы привести ссылку. Спасибо
From:[info]dmitri_pavlov
Date:April 25th, 2011 - 06:40 am
(Link)
Вот список книг по элементарной математике, который, видимо, имелся ввиду.
Комментарии приветствуются.

Теория множеств:
1 уровень: Н. К. Верещагин, А. Шень: Начала теории множеств.
2 уровень: F. W. Lawvere, S. H. Schanuel: Conceptual Mathematics: A
First Introduction to Categories.
3 уровень: F. W. Lawvere, R. Rosebrugh: Sets for mathematics.

Линейная алгебра:
1 уровень: И. М. Гельфанд: Лекции по линейной алгебре.
2 уровень: М. М. Постников: Лекции по геометрии.  Семестр 2: Линейная алгебра.
2 уровень: А. И. Кострикин, Ю. И. Манин: Линейная алгебра и геометрия.
3 уровень: Н. Бурбаки: Алгебра, главы 2 и 3.

Алгебра:
1 уровень: И. Р. Шафаревич: Основные понятия алгебры.  (Это обзор, и
читать его надо соответствующим образом.)
1 уровень: Н. А. Вавилов, Конкретная теория колец, Конкретная теория групп — содержат много примеров и занятных комментариев, стиль очень специфический, на любителя.
2 уровень: Э. Б. Винберг: Курс алгебры.
2 уровень: F. Lorenz: Algebra (2 тома).
3 уровень: С. Ленг: Алгебра.  (Немного устарела.)
3 уровень: P. Aluffi: Algebra: Chapter 0

Общую топологию, видимо, отдельно учить не стоит, ибо ничего
приличного я не знаю.  Можно довольствоваться тем, что уже есть в
других книгах, вроде Рудина и Хелемского.
Впрочем, при надобности можно смотреть книгу Дж. Келли, Общая топология,
главы 1-3 и более поверхностно 5-7, но в последних уже сильно больше
материала, чем надо.

Одномерный вещественный анализ:
1, он же и последний уровень: У. Рудин: Основы математического анализа.

Теория меры:
1 уровень: П. Халмош: Теория меры.
1 уровень: W. Rudin: Real and complex analysis.  Первые 8 глав.

Одномерный комплексный анализ:
1, он же и последний уровень: А. Картан: Элементарная теория
аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных.

Функциональный анализ:
1 уровень: А. Я. Хелемский: Лекции по функциональному анализу.
1 уровень: А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани: Теоремы и задачи
функционального анализа.

Гладкие многообразия:
1 уровень: Дж. Милнор: Теория Морса.
1 уровень: Дж. Милнор, А. Уоллес: Дифференциальная топология.
2 уровень: Джет Неструев: Гладкие многообразия и наблюдаемые.
3 уровень: J. M. Lee: Introduction to smooth manifolds.
[Между 2 и 3 разница небольшая, можно читать вместе.]

Алгебраическая топология:
1 уровень: A. Hatcher: Algebraic Topology.
2 уровень: P. May: A Concise Course in Algebraic Topology.
2 уровень: Tammo tom Dieck: Algebraic Topology.

Категории:  [К сожалению, я не знаю книг с достаточным количеством примеров.]
1 уровень: Тоже, что и 2 уровень теории множеств.
2 уровень: С. Мак Лейн: Категории для работающего математика.

Коммутативная алгебра:
1 уровень: М. Атья, И. Макдональд: Введение в коммутативную алгебру.
From:[info]measure_01
Date:April 28th, 2011 - 07:00 am
(Link)
>>> Общую топологию, видимо, отдельно учить не стоит, ибо ничего
приличного я не знаю

А Munkres?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:April 28th, 2011 - 07:05 am
(Link)
Munkres, говорят, тоскливая книжка,
Jänich, видимо, лучше.
[User Picture]
From:[info]bananeen
Date:May 3rd, 2011 - 07:42 am
(Link)
Спасибо. А геометрия что-то совсем не представлена - намеренно?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:May 3rd, 2011 - 01:47 pm
(Link)
Что имеется ввиду под геометрией?
[User Picture]
From:[info]bananeen
Date:May 4th, 2011 - 07:30 pm
(Link)
Ну, как вы написали, это список книг по элементарной математике.
Так вот, чуть-чуть элементарной геометрии - может аффинной, проективной, неевклидовых или каких-то ещё, сходных по содержанию, например,с такими курсами - math 130 у вас в Berkeley (http://math.berkeley.edu/courses_descripts.html#math130), или math 130 в Гарварде (http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k72219). С другой стороны, в MIT (http://math.mit.edu/academics/classes.php) даже и такого курса нету.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:May 5th, 2011 - 12:34 am
(Link)
Материал этих курсов либо уже включён в другие курсы,
либо его не следует изучать.
Прокомментирую по пунктам:

>A critical examination of Euclid's Elements;
>Hilbert's axioms for geometry,
Это представляет интерес исключительно для историков,
никакого отношения к современной математике не имеет.

>ruler and compass constructions; connections with Galois theory;
Это вообше не геометрия, а чистая алгебра,
элементарное приложение теории Галуа.

>theory of areas, introduction of coordinates, non-Euclidean geometry, projective geometry.

Это входит в курс линейной алгебры.

>regular solids,

Это входит в курс по группам Ли.

>Presents axioms for several geometries (affine, projective, Euclidean, spherical, hyperbolic). Develops models for these geometries using three-dimensional vector spaces over the reals, or over finite fields. Emphasis on reading and writing proofs.

Это тоже линейная алгебра.
[User Picture]
From:[info]bananeen
Date:May 5th, 2011 - 10:30 am
(Link)
Спасибо Дмитрий, за столь подробные ответы для новичков!
[User Picture]
From:[info]bananeen
Date:June 16th, 2011 - 02:30 pm
(Link)
Dmitry, как вы неоднократно говорили (например, здесь - http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/10252.html?nc=39 ), курс аналитической геометрии при наличии линейной алгебры совершенно бессмысленный. А есть ли у вас мысли на тему того, как так сложилось исторически, что эти 2 курса до сих пор сосуществуют в российских университетах?

Также касательно геометрии: у меня представление о геометрии чисто школьное, где казалось, что у геометрии действительно есть какой-то свой "отдельный метод". А смотря на хорошие программы по математике для начинающих (типо вашей), все "геометрические" темы - это линейная алгебра. На каком основании тогда какие-то темы относят к "геометрическим", если там все равно либо алгебраические, либо аналитические методы?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:June 16th, 2011 - 05:52 pm
(Link)
>А есть ли у вас мысли на тему того, как так сложилось исторически, что эти 2 курса до сих пор сосуществуют в российских университетах?

Могу только предположить, что аналитическая геометрия
существовала в университетах задолго до линейной алгебры,
а когда последнюю ввели в план, избавиться
от балласта забыли.

> все "геометрические" темы - это линейная алгебра

Я бы сказал: все элементарные геометрические темы.
Геометрия бывает, например, алгебраическая
и там методы вовсе не исчерпываются линейной алгеброй.

>На каком основании тогда какие-то темы относят к "геометрическим", если там все равно либо алгебраические, либо аналитические методы?

Я бы сказал, что геометрия — это все области,
использующие понятие пространства.
Методы при этом могут быть разными.
[User Picture]
From:[info]bananeen
Date:September 25th, 2011 - 06:06 pm
(Link)
>>>Я бы сказал: все элементарные геометрические темы.
Геометрия бывает, например, алгебраическая
и там методы вовсе не исчерпываются линейной алгеброй.<<<

Дмитрий, а не посоветуете хорошего англоязычного учебника по линейной алгебре, где бы геометрический раздел разбирался хоть сколько - нибудь подробно. (Хорошо бы книгу как можно легче; не сложнее, скажем, Кострикина-Манина)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:October 1st, 2011 - 12:30 am
(Link)
Я не уверен, что такие книги вообще существуют.
Обсуждение на эту тему есть на MathOverflow: http://mathoverflow.net/questions/22247/geometrical-meaning-of-grassmann-algebra
Кажется, единственным осмысленным вариантом
там явяется книга Федерера по геометрической теории меры,
у которой в начале разбирается геометрический смысл внешней алгебры.
А так, конечно, с учебниками катастрофа,
не в последнюю очередь потому, что линейная алгебра — стандартный курс для андерградов.
From:[info]potan
Date:July 18th, 2011 - 02:21 pm
(Link)
Дубровин, Новиков, Фоменко "Современная геометрия" не подойдет?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 18th, 2011 - 07:49 pm
(Link)
«Современная геометрия» — абсолютно чудовищная книга,
хотя посыл у неё был хороший.
Новиков всё испортил своей любовью к координатам,
в результате чего из книги пропала вся геометрическая интуиция,
и остались только бессмысленные формулы в координатах,
по крайней мере, для меня.
From:(Anonymous)
Date:June 13th, 2011 - 05:59 am
(Link)
Здравствуйте, Дмитрий

>Н. А. Вавилов, Конкретная теория колец

Не знаете ли вы, где ее можно достать? Ссылка на страничке автора, увы, мертвая, в известных мне электронных библиотеках я ее не нашел, в печатном виде она также вряд ли издавалась. Книжки у Вавилова прикольные, много интересных побасенок и даже поучительных

>Общую топологию, видимо, отдельно учить не стоит, ибо ничего
приличного я не знаю

А выборочно у Бурбаки не годится? Ну или книжка Виро-Иванова-Нецветаева-Харламова

>F. Lorenz: Algebra

Чем эта книжка хороша? Я не критикую ее включение в список, так как только видел, а не читал, просто интересуюсь. И Ленг, в принципе, совсем не устарел, особенно если рассматривать последнее издание, которое по сравнению с классическим текстом 60-х практически новая книга.

В отдельный раздел также можно было бы выделить группы и алгебры Ли.

Что вы думаете о многотомнике Спивака по дифференциальной геометрии? Она черечур большая для чтения подряд, конечно, но тем не менее

Спасибо за ответы!
From:[info]dmitri_pavlov
Date:June 13th, 2011 - 04:41 pm
(Link)
Книгами Вавилова обмениваются здесь:
http://ru-math.livejournal.com/753257.html

Бурбаки, наверное, можно читать, если устраивает стиль.

В книге ВИНХ общая топология есть, хотя и недостаточно для всех математических приложений.

Лоренц мне понравился более широким обхватом материала.
Ленг немного устарел по причине того, что в нём
недостаточно широко используется категорный язык.
Хотя я и не знаю книг по алгебре, где он используются
нормально.
Кандидатом может быть книга Aluffi: Algebra: Chapter 0.

Группы и алгебры Ли могли бы быть следующей
темой в списке, но я решил остановиться на этом.

Спивака не читал, но должен быть неплохим.
Не думаю, что объём представляет проблему,
ибо как я подозреваю, стиль у книги лёгкий и пространный.
From:(Anonymous)
Date:November 17th, 2013 - 11:30 am
(Link)
>Ленг немного устарел по причине того, что в нём
>недостаточно широко используется категорный язык.
>Хотя я и не знаю книг по алгебре, где он используются
>нормально.
>Кандидатом может быть книга Aluffi: Algebra: Chapter 0.

eshche est' mac lane/birkhoff - algebra
http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=CHEL-330-H
From:(Anonymous)
Date:July 10th, 2011 - 12:09 am
(Link)
> "Это обзор, и читать его надо соответствующим образом."

А каким таким образом следует читать обзор, если не секрет?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 10th, 2011 - 06:54 am
(Link)
Я, например, доказывал все недоказанные утверждения
или смотрел их доказательство в других книгах.
From:(Anonymous)
Date:July 27th, 2011 - 01:36 am
(Link)
Вы не могли бы подсказать, имеется ли рус. или англ. перевод статьи Пуппе Stabile homotopientheorie? Что касается Вашей программы, то в целом с ней согласен, только по большей части пока что это темы для исследования, а не для изложения в учебниках. Ссылки на статьи или монографии, излагающие подобные подходы, думаю были бы весьма полезны.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 27th, 2011 - 11:09 am
(Link)
Есть укороченный вариант:
Puppe, Dieter
On the stable homotopy category. Proceedings of the International Symposium on Topology and its Applications (Budva, 1972), pp. 200–212. Savez Društava Mat. Fiz. i Astronom., Belgrade, 1973.
From:(Anonymous)
Date:July 27th, 2011 - 11:40 am
(Link)
Спасибо, если б только где-то ее достать, в эл. виде вроде нет.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 29th, 2011 - 10:40 pm
(Link)
В электронном виде она есть на мой странице со сканами:
http://math.berkeley.edu/~pavlov/scans/
From:(Anonymous)
Date:July 30th, 2011 - 11:26 am
(Link)
Спасибо!
From:(Anonymous)
Date:August 5th, 2011 - 06:01 am
(Link)
Есть еще важная и недоступная в эл. виде статья на эту тему Freyd P.
Stable homotopy. Proc. Conf. Categor. Algebra, La Jolla 1965. B.: Springer, 1966, pp. 121-172 (это не LNM) и ее продолжение в Appl. categorical Algebra, Proc. Sympos. Pure Math. 17, 161-183 (1970). Буду очень благодарен.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 18th, 2011 - 08:10 pm
(Link)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:March 30th, 2015 - 10:55 am
(Link)
В электронном виде есть здесь:
http://libgen.org/book/index.php?md5=db32c99da936a5f7babae115acebf5d5
[User Picture]
From:[info]monroth
Date:September 14th, 2011 - 11:16 am
(Link)
Здравствуйте
А имеется ли вообще (и в интернете, если да) какое-нибудь изложение анализа на многообразиях без аппеляции к анализу на Rn вообще?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:September 14th, 2011 - 11:40 am
(Link)
Здесь, конечно, надо уточнить, что имеется ввиду под анализом
на многообразиях, но на мой взгляд наилучшим приближением
является книга Ramanan, Global Calculus.
From:[info]eduard_balzin
Date:December 18th, 2011 - 10:29 am
(Link)
Good day,

>Отказ от модельных категорий в пользу (∞,1)-категорий.

А как вы предлагаете делать это? Вменяемое описание какой-либо модели для категории (∞,1)-категорий требует (во всяком случае, на сегодняшний день) техник из науки про модельные категории... Под этим можно понимать, конечно, то, что после построения подходящей модельной категории все будет делаться internal to it, но это не "отказ".
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 18th, 2011 - 12:59 pm
(Link)
>Вменяемое описание какой-либо модели для категории (∞,1)-категорий требует (во всяком случае, на сегодняшний день) техник из науки про модельные категории...

В статье Шоммера-Приса и Барвика,
аксиоматизируется (∞,1)-категория (∞,n)-категорий
(то есть существенно более общий случай,
чем тот, о котором вы говорите),
на основе языке квазикатегорий,
без упоминания модельных категорий.
From:[info]eduard_balzin
Date:December 18th, 2011 - 01:51 pm
(Link)
Я знаком с этой статьей, спасибо. Но:

1) Как я понимаю, Ваш комментарий появился много раньше этой статьи (ей пара недель от силы). Потому я думал, что у Вас был какой-то иной ответ.

2) Это все равно не совсем ответ. Заранее предполагается at hand разработанная теория (∞,1)-категорий, в частности, теория представимых (∞,1)-категорий. В данном случае моделями являются квазикатегории, и используется то, что у Лури в НТТ содержится в 5 главе.

Неизбежно, например, нужно ответить на вопрос, что такое (∞,1)-категория предпучков. А корректное понимание категорий функторов для тех же квазикатегорий появляется только после построения модельной структуры Joyal'а на SSet. Собственно, можно, конечно, и так: с помощью модельных техник построить теорию (∞,1)-категорий, а потом уже все делать в "этой вселенной", только не то чтобы это очень удовлетворительно.

Кроме того, авторы подчеркивают, что их работу можно перевести на язык тех же модельных категорий.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 18th, 2011 - 05:48 pm
(Link)
>Как я понимаю, Ваш комментарий появился много раньше этой статьи (ей пара недель от силы).

Пару недель она лежит в архиве, результат был получен раньше.
Шоммер-Прис, кстати, мой научный брат (Doktorbruder).

>А корректное понимание категорий функторов для тех же квазикатегорий появляется только после построения модельной структуры Joyal'а на SSet.

Такое же утверждение можно сделать про само
определение квазикатегорий (которые являются
фибрантными объектами в модельной структуре Жояля).
Вот только тут на мой взгляд всё поставлено с ног
на голову: ведь обычно мы сначала определяем
квазикатегории, а уже затем говорим, что
слабая эквивалентность в модельной структуре
Жояля — это отображение, индуцирующее
изоморфизм связных компонент на пространствах
гомоморфизмов в произвольную квазикатегорию.
Тоже самое верно и для функторов, смотри
HTT, параграфы 1.2.7.2 и 1.2.7.3.
Вообще, модельные категории упоминаются в книге Лури
для обозначения преемственности и облегчения
понимания тем, кто уже знаком с модельными категориями.
А так они не нужны.

>Кроме того, авторы подчеркивают, что их работу можно перевести на язык тех же модельных категорий.

Можно, но не нужно.
Не зря ведь они выбрали квазикатегории,
а не умирающий язык модельных категорий.
From:[info]eduard_balzin
Date:December 18th, 2011 - 06:26 pm
(Link)
Спасибо за ответы.

>HTT, параграфы 1.2.7.2 и 1.2.7.3.
Ну, там и происходит отсылка к тому, что "свойства доказываются с применением модельной структуры Joyal'а", и добро пожаловать в next chapter.

Наверное, да, можно не говорить слов "Модельная Категория" и заниматься комбинаторикой симплициальных множеств, просто что от этого число доказанных фактов не сильно меняется.

>Можно, но не нужно.
Не зря ведь они выбрали квазикатегории,
а не умирающий язык модельных категорий.

Да я только за то, чтобы был другой метод (к тому же да статья от такого изложения выйграла). :-) Другое дело, каковой именно должна быть замена, сейчас не особо ясно. Те же Complete Segal Spaces довольно симпатичны в плане своих свойств. Квазикатегории кажутся некоторой уникальной вещью, в том же смысле, в котором уникальны симплициальные множества как модели гомотопических типов. Да, например с точки зрения тех же категорий функторов квазикатегории стоят на выделенном месте: в случае Segal Categories или Complete Segal Spaces, фибрантные объекты --- несколько больше, чем просто (\infty,n)-категории (оттого всякие проволочки с декартовой замкнутостью etc).
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 18th, 2011 - 07:11 pm
(Link)
>Ну, там и происходит отсылка к тому, что "свойства доказываются с применением модельной структуры Joyal'а", и добро пожаловать в next chapter.

А в следующей главе мы видим параграф 2.2.5.10,
а равно и секцию 2.1.4,
в которых и написано, зачем используются модельные
структуры — для сравнения с другими моделями ∞-категорий, в частности для сравнения с симплициальными категориями.

>просто что от этого число доказанных фактов не сильно меняется

Именно что меняется.
Если выкинуть сравнения с другими моделями,
то изложение станет короче,
достаточно будет только нескольких
свойств внутренних анодинных морфизмов,
вроде 2.3.2.1, 2.3.2.4, 2.2.5.4, 2.2.5.7 и нескольких других.

Кроме того, у меня ощущение, что если
не заниматься сравнениями, то 1.2.7.3 можно доказать
более прямым и простым способом (комбинируя
упомянутые леммы и выкидывая лишнее).

>Да, например с точки зрения тех же категорий функторов квазикатегории стоят на выделенном месте: в случае Segal Categories или Complete Segal Spaces, фибрантные объекты --- несколько больше, чем просто (\infty,n)-категории (оттого всякие проволочки с декартовой замкнутостью etc).

Именно.
Так что проще не заморачиваться
и использовать квазикатегории.

Конкретно, полные n-сложенные пространства Сигала «использовал»
тот же Лури в своей статье про гипотезу Баеза-Долана
о кобордизмах.
«Использовал» он их следующим образом:
определил (∞,n)-категорию бордизмов как полное
n-сложенное пространство Сигала, после чего «забыл» про формализм
и стал использовать наивный язык.
В результате весь результат немного висит в воздухе.
Шоммер-Прис утверждает, что ему удалось
перевести все наивные утверждения на язык
полных пространств Сигала и доказать их строго,
но усилия для этого потребовались немалые.
From:[info]eduard_balzin
Date:December 18th, 2011 - 07:22 pm
(Link)
>Кроме того, у меня ощущение, что если
не заниматься сравнениями, то 1.2.7.3 можно доказать
более прямым и простым способом (комбинируя
упомянутые леммы и выкидывая лишнее).

Что ж, вполне себе можно ожидать появления "квазикатегорий для работающего математика". К сожалению, текст Lurie все же для людей, уже знающих про "старую науку" достаточно много (это мое мнение, конечно).

Вот есть вопрос: можно ли использовать данное в статье Шоммер-Приса и Барвика определение, чтобы развивать модельно-независимую теорию (∞,n)-категорий? (интересно, сами авторы относятся к своему определению "теории n-категорий" как к методу решения классификационной задачи, или же у людей уже витают мысли о том, как строить науку internal to that definition?).
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 18th, 2011 - 11:06 pm
(Link)
Вообще говоря, (∞,n)-категории должны образовывать (∞,n+1)-категорию.
Что такое «модельно-независимая теория категорий»
я не могу представить уже для случая 2-категорий:
есть бикатегории, есть двойные категории.
Как можно с ними работать модельно независимо?
Можно, конечно, аксиоматизировать трикатегорию 2-категорий.
Но тогда возникает вопрос — какой вариант трикатегории использовать?

Мне кажется, что в случае с (∞,n)-категориями
один формализм будет доминирующим (также, как в случае
с 2-категориями доминируют бикатегории),
а остальные формализмы будут появляться изредка и только
тогда, когда они действительно нужны (в случае с 2-категориями,
двойные категории очень полезны для одновременного
описания двух типов морфизмов между алгебрами:
бимодулей и обычных гомоморфизмов).

В случае с (∞,1)-категориями вопрос, на мой взгляд,
уже разрешился в пользу квазикатегорий,
а вот для (∞,2)-категорий ситуация ещё не полностью ясна.
From:[info]chronos
Date:January 21st, 2013 - 11:33 pm

Список книг и статей под манифест

(Link)
Дима. На сегодняшний день вы смогли подобрать наиболее подходящую литературу, статьи на русском и английском под свой манифест? Если да, то не опубликуете осовремененный список? Хорошо, если бы подробнее расписали, что обязательно должен знать современный математик, а что скорее всего бесполезно и дали бы более полный список.

Еще меня интересуют основы математики: теория моделей, теория доказательств, теория рекурсии и алгоритмов, теория множеств. В вашей классификации это изолированные ветви, анахронизм или что? Если можно, напишите подробней.
Тот же вопрос о графах, автоматах и вообще комбинаторике, о тервере, статистике, случайных процессах и эргодической теории.

Вы в свое время усиленно занимались программированием, но к сожалению похоже в журнале нигде подробно эту тему не осветили. Что вы считаете там полезным, что вредным или анахронизмом в этой области. Это область приложения математики, поэтому интересен ее подробный разбор.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 22nd, 2013 - 09:03 am

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Полный список составить очень сложно.
Про ∞-категории надо, конечно, читать
книгу Лури — это, по существу, единственный источник.
Про гладкие многообразия мне нравится
книга Раманана Global Calculus (http://libgen.org/get?nametype=orig&md5=9934F3A9B18A5145371309B0ECD2062D).
Про локали недавно вышла книжка (Picado, Pultr: Frames and Locales. Topology without points):
http://libgen.org/get?nametype=orig&md5=ed6c3a9ed6fadaa06e18469931bb7eb5

>Еще меня интересуют основы математики: теория моделей, теория доказательств, теория рекурсии и алгоритмов, теория множеств. В вашей классификации это изолированные ветви, анахронизм или что? Если можно, напишите подробней.

Основами математики эти области сейчас
вряд ли могут называться (на эту роль
сегодня может претендовать
гомотопическая теория типов),
и они довольно сильно изолированы
от mainstream mathematics (приложения
к последней довольно редки,
исключая приложения геометрической теории моделей — например, гипотеза Мордэлла-Лэнга).

>Тот же вопрос о графах, автоматах и вообще комбинаторике, о тервере, статистике, случайных процессах и эргодической теории.

Графы, автоматы, комбинаторика — раздел TCS.
Случайные процессы и эргодическая теории
— вполне содержательные области
mainstream mathematics, если к ним правильно
подходить.
Теорвер и статистика — отдельные,
в значительной степени изолированные (в указанном выше смысле) науки (в западных
университетах по этой причине
они существуют на отдельных факультетах).

>Что вы считаете там полезным, что вредным или анахронизмом в этой области. Это область приложения математики, поэтому интересен ее подробный разбор.

На такой общий вопрос сложно дать
осмысленный вопрос.
Разве что могу посоветовать не путать
TCS с software engineering, что, к сожалению,
часто случается.
From:[info]chronos
Date:January 22nd, 2013 - 02:50 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
От Лури эта книга Higher Topos Theory?
А по гомотопической теории типов вы что из книг или статей рекомендуете прочесть?
По общей топологии эта книга актуальна или нет - Энгелькинг Р. Общая топология. 1986?
Диффуры, если я вас правильно понимаю, вы относите к дифференциальной алгебре, а что рекомендуете читать?
Маломерная топология, узлы, косы - это актуально или тоже изолированные области?

Множества вы похоже похоронили, а вот такие классические теории: групп, полугрупп, квазигрупп? Что с ними на современном этапе?

По линейной алгебре вы советовали Манина, Кострикина. Линейная алгебра, а также Федерер Г. Геометрическая теория меры. 1987. А по современней ничего? Как вот эта книга Sheldon_Axler-Linear_Algebra_Done_Right-Springer. 1997

По теории меры двухтомник Богачев_В.И.-Основы_теории_меры. Как он? Есть на http://libgen.org/

По функциональному анализу Богачев В.И., Смолянов О.Г._Действительный и функциональный анализ. Университетский курс(2009). Что скажите?


Хорошо, если бы вы составили список предметов и литературы наподобие программы Вербицкого: от школы до аспирантуры. Жаль что вы перестали активно вести свой журнал - интересно было бы почитать развитие многих тем и новых проблем.

Тут я наткнулся на еще одну интересную ссылку с вашим высказыванием:

<На втором отделении будут изучать комбинаторику, дискретную математику,
статистику, дискретную теорию вероятностей, жёсткий (hard) анализ и прочие аналогичные дисциплины.
Студенты после окончания этого отделения смогут работать учителями математики в школах и преподавателями «высшей» математики в вузах.
Они будут успешно проводить вступительные экзамены по (вступительной) математике и математические олимпиады.

<Конечно, честность и порядочность требует, чтобы студентам перед
поступлением объяснили, что на втором отделение почти все являются
жуликами и шарлатанами (прямо как на гуманитарных предметах), но боюсь, что современная политкорректность не позволит этого сделать.
http://akater.livejournal.com/270500.html?thread=464804#t464804

Очень категоричное высказывание. В принципе я согласен, что скажем в том же МГУ на мехмате не место старью. Но есть ведь ВМК МГУ, есть инженерные и педагогические вузы - там 2-й тип вполне уместен и оправдан. Что тем же инженерам проку в далекой от их области и вообще возможности для понимания допустим теории гомотопических типов? А вот скажем в матанализе, классическом ТФКП, классической линейной алгебре с определителями, вычислительной математике, теории графов и автоматов толк для них скорее всего будет еще долго.

Где-то я прочитал, что вы не жалуете неоправданно переусложненные C++, а теперь я понял и Java. Если я правильно понимаю, то вам ближе предметно-ориентированные языки и инструменты как например тот же TeX. А в программировании вы наверно цените сами алгоритмы, в изложении того же Кнута. Кстати, почему-то не откликается ваша страничка в Беркли - хотел скачать вашу русификацию Plain TeX. До этого я все в LaTeX'e ковырялся.
From:[info]chronos
Date:January 22nd, 2013 - 03:07 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
По матанализу кроме Рудина есть еще такая книга Дьедонне_Ж.-Основы_современного_анализа(1964). По моему для понимания неплоха, как вы считаете? У нее есть и многотомное продолжение того же автора Jean_Dieudonné_Éléments_dAnalyse. К сожалению похоже только на французском языке.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 22nd, 2013 - 05:10 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
>От Лури эта книга Higher Topos Theory?

Да. На его странице есть вторая книга, про алгебру.

>А по гомотопической теории типов вы что из книг или статей рекомендуете прочесть?

Пока текстов для начинающих нет. Сейчас в IAS идёт годовая программа
по HoTT, после неё обещают выпустить заметки лекций, где будет в том
числе и введение в HoTT.

Общую топологию особо усердно изучать не надо, её не так много надо,
и все чуть более специфичные разделы (паракомпактность, например) легко учатся по необходимости.
Коротких заметок Миши Вербицкого вполне хватает почти
для всех практических нужд.

>Диффуры, если я вас правильно понимаю, вы относите к дифференциальной алгебре, а что рекомендуете читать?

К дифференциальной алгебре относится решение диффуров в элементарных функциях, что является весьма специфичной деятельностью.
А вообще диффуры — это интегрирование гладких векторных полей
на многообразии, и изучать это надо в контексте курса гладких многообразий.

>Маломерная топология, узлы, косы - это актуально или тоже изолированные области?

Смотря что.
Например, гомологии Хованова, интеграл Концевича, или ассоциатор Дринфельда — интересные понятия.

Множества я никогда не хоронил. Вот, кстати, небольшой список литературы:
http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/12706.html?thread=536226#t536226

Теория групп весьма актуальна, в частности теория Басса-Серра и геометрическая теория групп. Классическая книга Серра хорошая.
Полугруппы и квазигруппы — скорее мёртвая область.

Axler ещё менее современен, чем книги, которые я называл.
За один термин null space хочется убить автора.

С теорией меры ситуация напоминает общую топологию — изучать лучше
скорее по необходимости.
Те же записки Миши подойдут для первичного знакомства.

>матанализе, классическом ТФКП, классической линейной алгебре с определителями

Не уверен, что это чем-то отличается от того, что предлагаю я,
если подборка тем нормальная.
Современная линейная алгебра разве без определителей?

Численные методы инженерам, видимо, нужны.
Излагать их, видимо, надо языком функционального анализа,
как предлагал уже Канторович.

>теории графов и автоматов

Это какие инженеры имеются ввиду? Если software, то им вообще отдельная программа нужна.

Страничка уже год как переехала, я исправил ссылки.
From:[info]chronos
Date:January 22nd, 2013 - 06:42 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
>Множества я никогда не хоронил.

Значит я не так понял контекст.
http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/12706.html?thread=513954#t513954

>Страничка уже год как переехала, я исправил ссылки.
Что-то я не ориентировался где новая ссылка.
http://math.berkeley.edu/~pavlov/tex/

А мне книга Axler показалась простой и логичной. А что плохого в null space? Нет слова векторное? Вектор без направления и длины какой-то уже не вектор. К примеру чем лучше понятие пустое множество? В самом слове множество звучит отнюдь не нуль. Да и как вообще понять пустую совокупность? Оболочка? Ее можно ввести для удобства.
У вас есть ветка "Страх перед нулём и единицей":
>Натуральные числа — это те, которые используются при счёте.
Это определение я услышал в пятом классе.
Счёт — это вычисление мощностей конечных множеств.
Пустое множество конечное, стало быть число 0 — натуральное.

Такой ввод в ноля в множество натуральных чисел для меня выглядит как подмена начального понятия задним числом. Натуральный я понимаю как природный, присутствует, есть в наличие. С учетом того, что я сказал выше о понятие множество я бы назвал такое переопределение необоснованным. Нет нужды менять старый термин, особенно если можно ввести другой или говорить о множестве неотрицательных чисел как подмножестве целых чисел. Если я не ошибаюсь это в свое время сделали Бурбаки. Не вижу я в этом ничего прозрачного и естественного, скорее наоборот - искусственное притягивание за уши. Вроде как Apple, который запатентовал прямоугольник с закругленными углами, пусть теперь круг патентуют.

За ответы спасибо, буду переформатировать свой мозг.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 23rd, 2013 - 06:11 am

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Аксиоматика Цермело-Френкеля — анахронизм,
множества и по сей день являются основанием математики.

>Что-то я не ориентировался где новая ссылка.
http://math.berkeley.edu/~pavlov/tex/

А где осталась такая ссылка?

>А что плохого в null space?

То, что этот термин совершенно не используется в математике.

>Нет нужды менять старый термин, особенно если можно ввести другой

Нельзя. Термин "неотрицательное целое число" слишком громоздкий.
А целые числа ≥ 1 никому особо не нужны,
в отличии от целых чисел ≥ 0.

Причём здесь Бурбаки, я не понимаю, нуль стал
натуральным числом уже в 19 веке.

Кстати, у древних греков только
целые числа ≥ 2 считались числами.
Долой единицу!
From:[info]chronos
Date:January 23rd, 2013 - 12:52 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Спасибо за ссылку на русификацию TeX'а.

>То, что этот термин совершенно не используется в математике.

Но меня интересовало в этой книге не терминология или например синтаксис, а содержание. Мне показалось вполне обоснованной схема подачи материала.

>Причём здесь Бурбаки, я не понимаю, нуль стал натуральным числом уже в 19 веке.

Я отталкивался от мнения Арнольда http://vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/NATURE/BURBAKI.HTM
"Некоторые (намек на Арнольда. - В. А.) считают, что натуральные числа - это те, которые участвуют в натуральном (то есть естественном) счете: «один, два, три...». Но такой экспериментаторский подход ненаучен. С точки зрения нашей высокой науки, «естественный счет» никакого отношения к теории не имеет. Научное определение таково: «Натуральные числа - это мощности конечных множеств». А какое из конечных множеств - самое главное? Разумеется, пустое! Значит, его мощность, то есть нуль, - натуральное число!".

>Кстати, у древних греков только целые числа ≥ 2 считались числами. Долой единицу!

О просто числах разговора и не было. У древних греков еще не было не только арабских цифр и нуля, но и понятия "натуральное число".
From:[info]chronos
Date:January 23rd, 2013 - 01:00 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
>Аксиоматика Цермело-Френкеля — анахронизм,
множества и по сей день являются основанием математики.

Если можно поподробнее. Какая аксиоматика теории множеств на сегодняшний день актуальна? NBG, Нечеткие множества, Мультимножества, Вопенка П. Альтернативная теория множеств? Или что-то иное и что о ней можно почитать?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 23rd, 2013 - 03:46 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
ETCS, конечно, а скоро, видимо, будет актуальна гомотопическая теория типов.
Читать надо книгу Lawvere, Rosebrugh, Sets for Mathematics.
From:[info]chronos
Date:January 23rd, 2013 - 09:11 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
>ETCS, конечно, а скоро, видимо, будет актуальна гомотопическая теория типов.

А остальные, перечисленные мною, аксиоматики совсем интереса не представляют?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 24th, 2013 - 08:24 am

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Для логиков — несомненно представляют,
для математиков — нет.
From:[info]chronos
Date:January 23rd, 2013 - 01:06 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
И заодно уж спрошу о P-адическом анализе? Он как, изолированная ветвь?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 23rd, 2013 - 03:47 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
P-адическая наука весьма полезна в теории чисел, например, в программе Ленглендса. Совсем не изолированная.
From:[info]chronos
Date:January 23rd, 2013 - 01:28 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Дима. Вы ведь читаете лекции студентам? У вас есть какие-то свои наработки в современном стиле изложения? Ну например в линейной алгебре или еще в чем? Если есть, может выложите?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 23rd, 2013 - 04:29 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Записанных лекций у меня нет.
По линейной алгебре мне больше всего нравится изложение Делиня и Моргана,
но их заметка, конечно, не учебник.
From:[info]chronos
Date:January 24th, 2013 - 06:12 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Вот наткнулся еще на такую книгу
Sergei_Winitzki-Linear_Algebra_via_Exterior_Products-lulu.com(2010)


This book is a pedagogical introduction to the coordinate-free approach in finite-dimensional linear algebra, at the undergraduate level. Throughout this book, extensive use is made of the exterior (“wedge”) product of vectors.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 24th, 2013 - 07:26 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Книга в нормальном виде есть на сайте автора: https://sites.google.com/site/winitzki/linalg
Некоторые решения (отсутствие внешнего
произведения операторов, влекущее за собой
странное изложение в некоторых местах, неиспользование
форм во многих местах, индексная нотация
(последнее, видимо, потому, что автор — физик))
довольно странные, но в целом книга
существенно лучше почти всех
других отдельных книг по линейной алгебре.
From:[info]chronos
Date:January 24th, 2013 - 09:00 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Спасибо за комментарий.

Нет предела совершенству. Странно, что никто не сподобился написать идеальную, современную книгу по достаточно простому и старому, но в тоже время очень нужному предмету. Может вы напишите? И хорошо бы на русском, а иначе тут в России так и будут дедовским способом преподавать.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2013 - 07:48 am

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Каким способом будут преподавать, зависит
всё же от преподавателей, а не от книг.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 23rd, 2013 - 04:27 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Все материалы лежат на мой странице http://dmitripavlov.org/tex/,
а вот где вы достали ссылки на старую страницу, я так и не понял.

>Но меня интересовало в этой книге не терминология или например синтаксис, а содержание. Мне показалось вполне обоснованной схема подачи материала.

Помимо скверной терминологии, автор также страдает различным формами
маразма, что особенно заметно в последних трёх главах.
Зачем мучать читателя долгим техническим доказательством
жордановой формы, если потом оно совершенно не используется?
Кому надо, получит жорданову форму (и вещественную, и комплексную)
как тривиальное следствие теоремы о структуре модулей
над кольцами главных идеалов (или, более общо, над дедекиндовыми кольцами).
А на практике жорданова форма и вовсе не нужна.
Последняя глава и вовсе чудовищна.
За одно доказательство теоремы 10.31 книжку следует немедленно выкинуть
на помойку.

>Я отталкивался от мнения Арнольда

Так это же байки, сказки, которые Арнольд рассказывал в последние годы жизни.
Отношение к реальности они имеют слабое.
Как можно от них отталкиваться.

>У древних греков еще не было не только арабских цифр и нуля, но и понятия "натуральное число".

Это откуда такое утверждение?
Понятие числа у греков было вполне чётко сформулировано,
и подразумевалось под ним целое число ≥ 2.
Арабские цифры для понятия натурального числа не требуются.
From:[info]chronos
Date:January 23rd, 2013 - 09:01 pm

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
>а вот где вы достали ссылки на старую страницу, я так и не понял.

Наверно, я не перегрузил страницу, после того как вы внесли правку, хотя вроде бы специально нажимал на перезагрузку. А может случилось что-то другое. Я брал эту ссылку с главной страницы журнала, а не с самой статьи. Я так понял у вас дублируется http://lj.rossia.org и жж. Вы где реально из них пишете? Может быть синхронизация делается с приличной задержкой? В общем сейчас уже все нормально.

>За одно доказательство теоремы 10.31 книжку следует немедленно выкинуть
на помойку.

Да, хреновое доказательство.

>Это откуда такое утверждение?
Понятие числа у греков было вполне чётко сформулировано,
и подразумевалось под ним целое число ≥ 2.
Арабские цифры для понятия натурального числа не требуются.

В пифагорейской школе число называлось числом, а не натуральным числом.

На стр. 62 История математики (автор Юшкевич) говориться, что греки использовали для обозначения единицы I и букву альфа с черточкой наверху. Вы наверно отталкиваетесь от "Число для пифагорейцев — это собрание единиц, т. е. только целое положительное число." Но из такого определения, как не крути, ноль в качестве натурального числа не получишь.
И кроме школы Пифагора была и чуть более ранняя школа Фалеса.

У B.L. van der Waerden Algebra Volume I

We presume that the reader is familiar with the set of natural numbers
(positive integers),
1, 2, 3, . . . ,
as wen as with the following basic properties of this set (Peano's axioms or postulates).

>По линейной алгебре мне больше всего нравится изложение Делиня и Моргана,
но их заметка, конечно, не учебник.

Вы наверно этот курс имеете ввиду:
Quantum fields and strings: A course for mathematicians?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 24th, 2013 - 08:57 am

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Реально я пишу в LJR, в LJ всё дублируется.

>В пифагорейской школе число называлось числом, а не натуральным числом.

Поскольку других чисел, кроме натуральных, не было,
то и необходимости в дополнительных прилагательных тоже не было.

>Но из такого определения, как не крути, ноль в качестве натурального числа не получишь.

О чём я и говорю последние несколько комментариев.
Сначала в натуральные числа добавили единицу, а затем — ноль.
А иначе получается, что даже не все цифры являются натуральными числами,
то есть для обозначения натуральных чисел приходится использовать
ненатуральные числа.

>У B.L. van der Waerden Algebra Volume I

А уже в следующем классическом учебнике алгебры (Ленг, через 35 лет
после вдВ) число ноль — натуральное.

>Quantum fields and strings: A course for mathematicians?

Да, конечно.
From:[info]chronos
Date:January 24th, 2013 - 10:44 am

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Жаль, что у вас нет записанных лекций. При чем предпочтительней было бы на бумаге. Сейчас в интернете есть видеозаписи лекций НМУ, НОЦ МИАН и матфака ВШЭ, но то в одной из них звука нет, то в другой слышно плохо, в-третьей плохо видно и т.п. На бумаге или pdf было бы лучше, но зачастую нет их на бумаге, да и на бумаге автор дает больше материала, ссылок, меньше ошибок.

В вашем списке литературы ничего не говориться об алгебраической геометрии и теории чисел. По ним что рекомендуете читать, Шафаревича?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 24th, 2013 - 11:19 am

Re: Список книг и статей под манифест

(Link)
Тот список довольно элементарный,
так что алгебраической геометрии там нет.
Классический учебник — Хартсхорн,
недавно ещё вышла пара современных
учебников, про которые я ничего не знаю.
[User Picture]
From:[info]lavender
Date:March 27th, 2015 - 11:54 pm
(Link)
>> When I learned linear algebra I made sure I understood the geometric meaning of every single definition, theorem, and proof. For example, an element of a vector space is a vector or a 1-dimensional subspace with an oriented metric, an element of the dual vector space is a hyperplane with an oriented metric on its “complement”, i.e., the factor space <...>

А как дать формальное определение этой ориентированной метрики и как отождествить векторы с одномерными подпространствами?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:March 30th, 2015 - 10:46 am
(Link)
Ненулевой элемент двойственного пространства V
имеет ядро W коразмерности 1
и задаёт изоморфизм V/W→k.
Этот изоморфизм задаёт ориентацию и метрику на V/W,
что можно интерпретировать как ориентированную _меру_ V/W
(слово metric — опечатка, я имел в виду measure).

Всё это становится существенно более полезным для внешней алгебры:
ненулевые разложимые элементы внешней алгебры двойственного пространства V
имеют ядро W произвольной коразмерности и ориентированную меру на V/W.

Ориентированная мера для произвольного векторного пространства U
проще всего определяется как элемент det(U)=Λ^top(U),
но для вещественных векторных пространств легко дать определение
и без детерминантов.

Аналогично, ненулевые разложимые элементы внешней алгебры пространства V
(без двойственности) можно задать как подпространство W
вместе с ориентированной мерой на W*.
[User Picture]
From:[info]lavender
Date:November 26th, 2015 - 12:24 pm
(Link)
А размерность при таком подходе определяется как максимальная длина разложения пространства в прямую сумму одномерных подпространств?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:November 26th, 2015 - 05:44 pm
(Link)
Размерность можно много как определять,
например, как длину максимальной цепочки строго возрастающих подпространств.

Впрочем, если хочется без изменений распространять это на более
общие объекты, вроде векторных расслоений,
то требуются другие определения,
вроде следа тождественного оператора.
My Website Powered by LJ.Rossia.org