У меня не хватило духу проверять, что есть.

На мой взгляд, Спрингер хорош именно изложением униформизации. А вы знаете, где лучше? (PDE-доказательства не предлагать.)

С тем, что без когомологий пучков ничего понять нельзя, я совсем не согласен. Теорема классическая, формулируется без когомологий пучков, и доказывать ее можно без них. Даже вполне современные алгебраические доказательства (например, доказательство в книжке Ленга) без них обходятся. Кроме того, есть немало людей, которые интересуются римановыми поверхностями, а пучки им не нужны.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Farkas H., Kra I. Riemann surfaces не лучше?

Конечно можно полностью обойтись, используя везде дивизоры, i(D) и l(D), но мне кажется я бы так точно ничего не понял. Я бы с самого начала начал с соотвествия между пучками и дивизорами, и использовал в каждом конкретном случае ту интерпретацию, которая быстрее приводит к доказательству.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я плохо помню, как у Фаркаша и Кра. У меня осталось впечатление чего-то очень тяжеловесного - я не смог продраться через их изложение (за ограниченное обстоятельствами время). Мне кажется, что они аналитически-формульные люди, и с геометрией плохо справляются. А это геометрическая теорема.

Что быстрее приводит к доказательству - зависит от имеющихся в распоряжении предварительных сведений. Если пучки есть - можно ими пользоваться. Мне лично пучки очень нравятся. Но вводить пучки только для того, чтобы доказать Римана-Роха, мне кажется неоправданным.

(Reply to this) (Parent)

Решил уточнить: что вы подразумевает под PDE-доказательством? Какие PDE-доказательства вы знаете?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Наверное, те, в которых существенно используются PDE? Готов сделать исключение для линейных эллиптических уравнений.

Пример PDE-доказательства: доказать тот факт, что любая риманова метрика конформно эквивалентна метрике постоянной кривизны. Наверное, еще можно гармонические отображения использовать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Мне с какого-то момента после этого нашего разговора стало казаться, что униформизация это всегда PDE-задача, но такая специфическая, что можно обойти стандартные приемы этой (PDE) области. Например, Спрингеру (точнее Кебе), надо минимизировать функционал Дирихле (вполне задача про уравнения, хотя линейные), но он явно этого не делает. Можно было бы попробовать задачу отыскания метрики постоянной кривизны свести в изопериметрической вариационной задаче и решать тоже её как-нибудь в обход.

Про такой метод как доказывать теорему существования и единственности для уравнение Лиувилля на поверхности каким-нибудь способом я, конечно, знаю. Второй вопрос был задан с надеждой, что вы еще какой-нибудь пример “PDE-метода” припомните: мне было бы интересно посмотреть на оценки, метод непрерывности и все такое, что в таких ситуация может возникнуть.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Честно говоря, этот вопрос совсем не по адресу, потому как я PDE-методы не люблю. Вообще. Делаю исключение для линейных эллиптических и D-модулей. :-) Я думаю, что в книжке J. Jost'а про римановы поверхности есть доказательство через гармонические отображения, но она мне не понравилась и я плохо помню, что там есть. Может, я ошибаюсь.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Про нелюбовь я помню, но спросить никогда не вредно. Да, в книжке Jost'а много про гармонические отображения, но униформизация там доказывается как-то по другому: что-то деформируется в стиле наук про пространство Тейхмюллера, я такого раньше не видел. В конце он пишет, что это то самое (его же Спрингер упоминает как самое простое) доказательство Найнса, в изложении Альфорса. По виду оно не более PDE, чем у Спрингера, а детали я только сейчас сяду понимать. Спасибо за указание на книжку! Я не знал, что у Jost'a есть книжка по римановым поверхностям (у него как выяснилось вообще много книжек), хотя самого Jost'а знал (по работам разумеется).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А что за Найнс? Hains?

У Jost очень много книжек, и, как мне кажется, все они написаны левой ногой. :-)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, конечно Hains. Я почему-то первую букву оставил на том языке =)

При ближайшем рассмотрении оказалось, что он постоянно ссылается на факты про гармонические отображения, так что это наверно как раз такое гармоническое доказательство, но по-моему оно конкретно запутанное и мало симпатичное.

В книжке про римановы поверхности меня удивила вставка 40 страниц из "учебника ур. мат. физики" причем как если бы это было сделано просто copy-paste. Достоинство наверно только в том, что вместе собраны разные результаты о гармонических отображениях, которые так пришлось бы искать по статьям.

Из остальных я бы с интересом полистал книгу про бозонную струну, в надежде, что там мало физического рукомахательства. Имею надежду, что Riemannian Geometry and Geometric Analysis умеренно внятная. Интересно как он докатился до Mathematical Methods in Biology and Neurobiology? Я её даже скачал с его страницы, посмотрел оглавление – какая-то тоскливая мура =)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я так думаю, что про бозонную струну там мало содержания. :-)

Вроде бы он начинал как специалист по гармоническим отображениям. Но потом о решил стать начальником - и стал директором нового Макса-Планка по прикладной математике. Положение обязывает - самая денежная прикладная математика сейчас - со словом биология. Конечно, тоскливая мура.

(Reply to this) (Parent)