О чем-то подобном писал еще Пуанкаре.

Позволю себе процитировать пару более-менее случайных отрывков :

( Когда ученик начинает серьезно изучать математику, он полагает известными понятия дроби, непрерывности, площади криволинейной поверхности. Он считает очевидным, например, что непрерывная функ- функция не может поменять знак, не обращаясь в нуль. Если вы ему скажете без предварительной подготовки: «Нет, все это не очевидно. Необходимо, чтобы я вам это доказал», — и если в своем доказательстве вы опираетесь на посылки, которые не кажутся ему более очевидными, чем заключение, то что же тогда подумает этот бедняга? Он решит, что математическая наука является лишь произвольным скоплением бесполезных премудростей. Тогда либо ему это надоест, либо он будет забавляться этим как игрой, и придет к образу мыслей, характерному для греческих софистов. )

Выше я уже говорил, почему именно интуиция учит нас
этому искусству. Без нее геометр был бы подобен писателю, в совер-
совершенстве владеющему грамматикой, но лишенному идей.
Но как бы эта способность развивалась, если, стоит ей показаться
на свет божий, ее настойчиво преследуют и изгоняют, если учат не
доверять ей, даже не разобравшись еще, что хорошего можно из нее
извлечь?



В специальных школах, а также в первом классе политехнической
школы не следует говорить о функциях без производных, а если и упо-
минать о них, то со словами: «Возможно, такие бывают, но мы ими не
занимаемся».
Когда ученикам впервые говорят об интегралах, их следует опре-
определять через площади, а строгое определение можно дать только после
того, как ученики вычислят множество этих интегралов.


http://bbixob.livejournal.com/59531.html

(Reply to this) (Thread)

Пуанкаре, несомненно, прав.

>Когда ученикам впервые говорят об интегралах, их следует определять через площади, а строгое определение можно дать только после
того, как ученики вычислят множество этих интегралов.

Не очень понятно, что имеет ввиду Пуанкаре,
ведь определение интеграла через площадь
безупречно строгое, оно даже удовлетворяет самым изощрённым стандартам современной логики.

Однако, интегралы, всё же на мой взгляд, считать не надо.
Надо решать задачи, в которых содержательно применяются интегралы.

Функции без производных полезны, например, в броуновском движении, но действительно,
большинству изучать их совершенно незачем.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не очень понятно, что имеет ввиду Пуанкаре,
ведь определение интеграла через площадь безупречно строго

подозреваю: нужно сказать, что интеграл есть площадь подграфика, а что такое
площадь вы и так уже понимаете (ну или объяснить физически-интуитивно)

Однако, интегралы, всё же на мой взгляд, считать не надо.
Надо решать задачи, в которых содержательно применяются интегралы.

хм. с предлагаемым определением содержательная задача посчитать интеграл х-квадрат, например...ну и решая содержательную задачу вам придется интеграл посчитать

Функции без производных полезны, например, в броуновском движении, но действительно, большинству изучать их совершенно незачем.

вроде лосев сотоварищи пытаются так делать первые полсеместра...
Ваше же возражение не о том: Пуанкаре скорей о том, что вначале учим функции "с производными", а потом, если надо и дорастем-поймем---уже как полагается...вот об этом:


Напротив, когда ученик станет более продвинутым, ознакомится
с математическими рассуждениями, а разум его созреет благодаря это-
этому знакомству, сомнения возникнут сами собой, и ваше доказательство
придется кстати. Оно пробудит новые сомнения, и вопросы у ребенка
будут возникать один за другим, как они возникали у наших отцов,
до тех пор, пока его не станет удовлетворять лишь абсолютная стро-
строгость. Недостаточно сомневаться во всем, необходимо знать, почему
сомневаешься.

пожалуй, процитую еще кусок:

Среди молодых людей, получающих полное математическое обра-
образование, одни, вероятно, станут инженерами. Они изучают геометрию
для того, чтобы ею пользоваться. Прежде всего необходимо, чтобы они
научились хорошо и быстро понимать. И именно в интуиции они нуж-
нуждаются в первую очередь. Другие — их меньше — в свою очередь,
возможно, станут учителями. Следовательно, им необходимо дойти до
сущности. Углубленное и точное знание основных принципов необхо-
необходимо для них прежде всего. Но это не причина не развивать у них
интуицию, так как они создали бы себе ложное представление о науке,
рассматривая ее только с одной стороны. И кроме того, им бы не уда-
удалось развить у своих учеников качество, которого они сами лишены.

(Reply to this) (Parent)