dx и d/dx хороши тем, что подчеркивают двойственность кокасательного и касательного расслоения. А еще тем, что вместо x можно подставить что-нибудь еше (т.е. видно, по каким правилам происходит пересчет координат при замене локальной параметризации).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Проблема в том, что d и d/d (или ∂/∂) обочначают совершенно
разные операции.
Первая — дифференциал, он же производная, он же касательное отображение.
Вторая — производная функции вдоль векторного поля.
Двойственности между этими операциями нет.
Двойственной к касательному отображению будет pullback дифференциальных 1-форм.
А вот операция взятия производной вдоль векторного поля двойственна сама себе.
Поэтоми на самом деле эти обозначения ничего не подчёркивают, а только затемняют суть дела.

>А еще тем, что вместо x можно подставить что-нибудь еше (т.е. видно, по каким правилам происходит пересчет координат при замене локальной параметризации).

Об этом говорил ещё Арнольд: обозначения Лейбница позволили преподавать
анализ, не понимая его. На самом деле, если понимаешь геометрический
смысл этих операций, то никакой необходимости в мнемонических правилах нет.
Геометрический смысл первичен, правила вычислений вторичны.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я имел в виду, что при каноническом спаривании между касательным и кокасательным расслоением локальные базисы dx_i и d/dx_j (извиняюсь, не умею писать частную производную) двойственны. Все конкретные вычисления все-таки происходят локально (хотя в доказательствах теорем от использования базиса нужно по возможности избавляться).

(Reply to this) (Parent)

Да, и ещё: x в обозначениях dx и d/dx, ∂/∂x
имеет совершенно разный смысл.
В случае dx это проекция на координату x.
В случае ∂/∂x это векторное поле с единичной компонентой в координате x.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А не могли бы Вы поподробнее рассказать (вернее разжевать) про этот момент? Я всегда считал что нотация Лейбница это именно деление, теперь совсем запутался.

(Reply to this) (Parent)