По первому вопросу -- это все так. Но никто не стартует с этого и этого даже и не упоминает, наверное, если не держит курс на сюжеты, где структурная алгебра (или пучок) становится в центр рассмотрения. Дело даже не в традициях изложения, а в том, что такой взгяд на геометрию становится естественным только с довольно специального угла зрения. И преобразование Гельфанда обычно рассматривают в рамках некоммутативной науки (кроме, может быть, рассказа о спектральной теореме, но это та еще коммутативность).

Про оснащенные г.п., может быть, надо у физиков почитать-спросить.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>а в том, что такой взгяд на геометрию становится естественным только с довольно специального угла зрения

Нельзя ли поподробнее? Что именно ты имеешь ввиду?
Например, в схемах этот взгляд уже сейчас считается
естественным, а чем мера, топология и многообразия хуже?

> Но никто не стартует с этого и этого даже и не упоминает, наверное, если не держит курс на сюжеты, где структурная алгебра (или пучок) становится в центр рассмотрения.

Я думаю, это результат исторического развития.
Дифференциальная геометрия появилась задолго до пучков,
поэтому в ней осталось много артефактов.
Сейчас ситуация меняется.
Есть элементарная книга Джета Неструева, посвящённая изложению основ многообразий с этой точки зрения.
Есть хороший учебник S. Ramanana, Global Calculus.
Начинает с определения многообразия, заканчивает
теоремами Кодаиры о вложении и занулении.
Практически не использует координаты и атласы,
всё делает в пучках.
При этом всё понятно и геометрично.
Всё это — на 300 страницах.

>а в том, что такой взгяд на геометрию становится естественным только с довольно специального угла зрения.

Взгляд на геометрию в виде двойственности кольцо-пространство и модуль-расслоение мне не кажется специальным.

>И преобразование Гельфанда обычно рассматривают в рамках некоммутативной науки (кроме, может быть, рассказа о спектральной теореме, но это та еще коммутативность).

Опять же, мне кажется что это артефакт исторического развития.
На мой взгляд, весьма полезно знать об эквивалентности
категорий коммутативных C*-алгебр и локально компактных хаусдорфовых пространств если изучаешь хотя бы одну из этих двух наук.

Вообще, идея кольцо-пространство и модуль-расслоение
на мой взгляд является самой важной (или одной из таких) нетривиальной идеей
в математике, поэтому представляется разумным подчёркивать
её везде, где только можно. В частности, в мере, в топологии, и в многообразиях.

(Reply to this) (Parent)