>Эта система аксиом, в свою очередь, должна опираться на более фундаментальную
>систему аксиом, та - на еще более фундаментальную, и так далее до бесконечности;

Не опирается, а расширяет предыдущую. Вообще же, существует фрактал аксиоматики.

Что такое система счисления с основанием 0, непонятно.

(Reply to this) (Thread)

теория множеств же

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не понял вопроса.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

это был ответ
неважно, короче

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не понял ответа.

(Reply to this) (Parent)

Ну, кстати, да, натуральный ряд определяется же через пустое множество (вот, кстати, хармсовский "нуль" и "ноль") и объединение множеств, так что действительно получается основание 0...

Главный прикол в том, что арифметика оперирует с мощностями множеств, а не с самими множествами. Вся хармсовская "цисфинитная логика" основана на попытках вывести методы для операций с самими множествами, то есть качественных.

Что такое фрактал аксиоматики, я не очень понял (хотя образ какой-то есть). Но в любом случае фрактал он и есть фрактал, он разворачивается в обе стороны, в "плюс-минус бесконечность" типа.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Положим, есть непротиворечивая система аксиом из n штук. Это узел дерева. Есть множество утверждений, недоказуемых в данной системе аксиом, и их отрицания. Это ветви, исходящие из данного узла, т.к. можно добавить любое из них к исходной системе аксиом и получить новую.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

С т. зр. теории графов это получится не дерево, однако, а ориентированный граф без циклов - одна и та же аксиома может быть присоединена ко многим системам аксиом. Ну, а мне нравится смотреть на эту конструкцию как на фрактал. Обладающий самоподобием и т.п.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Так вот рот открыл уже :) На граф оно тоже не сильно похоже - на каком-то этапе происходит еще и переформулирование аксиом, кроме присоединения. и как оно выглядит на самом деле, непонятно.
Еще интересно, как может выглядеть обратная операция (к "корню"), потому что она как раз и есть самая интересная.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Переформулирование можно не учитывать, т.к. при добавлении к системе утверждение проверяется не только на непротиворечивость, но и на невыводимость из других аксиом системы.

Обратная операция, естественно, выглядит как исключение последней аксиомы в списке. Неинтересная.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я имею в виду, что полученная система может оказаться эквивалентом более простой. Получается как бы смыкание двух ветвей этого дерева. А раз дерево анизотропное, то обратная операция будет нетривиальной.

Задача-то - уменьшить набор аксиом при сохранении приемлемого уровня полноты? Исключая эвклидовы аксиомы, можно получить массу разных неэвклидовых геометрий, но к теории множеств (ну или вообще к чему-то более фундаментальному) так не придешь.

(Reply to this) (Parent)

Ну то есть не уменьшить набор количественно, а упростить, конечно же.

(Reply to this) (Parent)