насчёт счёта шариков: ты упускаешь один важный момент. почитай там на досуге про упорядоченные множества и про частично упорядоченные множества.

дело в том, что шарики вполне удобно нумеровать
так: "раз-два-три-четыре-пять",
или так: "минус один - ноль - один - два - три"
или так: "а-б-в-г-д"
или так: "p-q-r-s-t".
или даже так: "красный-оранжевый-жёлтый-зелёный-голубой".

А вот "ноль-семнадцать-один-три-белыйкролик", или "п-ф-в-а-к", или ещё что-то такое - это неудобно.

Причина этого проста. Дело в том, что все "хорошие" примеры, которые я привёл, используют для нумерации знакомое множество, упорядоченное знакомым способом. Это могут быть натуральные числа, целые числа, отрезок русского алфавита, отрезок латинского алфавита, последовательность цветов в радуге. Все эти множества знакомы с детства, и продолжить порядок, начиная с любого элемента, особого труда не составляет.

Дело в том, что нумерация - это НЕ подсчёт количества. Нумерация - это введение порядка. Другое дело, что можно одновременно с нумерацией и количество посчитать. Когда я говорю о пересчёте шаров в куче, я скорее имею в виду снабжение их номерами, хотя слово "пересчёт" конечно сильно склоняет к интерпретации "сосчитать сколько их". Но, всё же, это разные задачи.

- почитай там на досуге про упорядоченные множества и про частично упорядоченные множества.
- обязательно. если вдруг знаешь подходящую литературу на "нормальном языке" - можешь швырнуть линкой или названием. тут проблема в том, что с ужасными формулами например разбираться - это попросту нереально. мне надо чтобы как можно более по-русски обьяснялось.

- "п-ф-в-а-к", или ещё что-то такое - это неудобно
- я бы даже сказал, что если последовательность здесь имеет таки значение, то это не просто неудобно (неудобно - это когда линейка с 9-ти начинается), а просто ебучая чушь какая-то, да и всё тут. так "перечислять" можно в том случае, когда собственно последовательность пунктов значения не имеет, и видится необходимым этот момент подчеркнуть.

- Причина этого проста
- ну это понятно, да. я например нередко использую последовательность вида "а, б, ц, д, е, ф, ж, ш, итд". воспринятые фонетически, эти пункты "магическим образом" превращаются в привычную последовательность латиницы.

- Нумерация - это введение порядка.
- это тоже понятно. но чисто к слову, порядок - это, скажем, система вообще любая. а нумерация - это строго линейная система (именно поэтому здесь удобно рассматривать собственно линейку, или систему летоисчисления). в нелинейной системе введённый "порядок нумерации" и попытки его "строго придерживаться" могут напротив означать "введение беспорядка" - потому что порядок такой системы может вообще не подразумевать последовательности как таковой.

- Когда я говорю о пересчёте шаров в куче, я скорее имею в виду снабжение их номерами
- а вот это уже интереснее. строгая последовательность нумерации при пересчёте "шаров в куче" нужна на мой взгляд прежде всего именно для учёта их количества, или же для какой-то однозначной маршрутизации между этими шарами. если же речь идёт о том, чтобы просто дать раздельным шарам в куче наименования - то это всё равно что маша, петя, ваня, итд. последовательность здесь может быть нужна только для того, чтобы имена не совпадали. в таком случае достаточно просто не возвращаться назад, например - а шаг может быть произвольным. например так: 1, 4, 8, 9. у нас же 4 шара было - ну и вот, я их "подсчитал". или можно называть вообще полностью произвольно, и вычёркивать уже использованные наименования из списка. то есть мне всё же непонятно, причём тут именно строгая последовательность. для меня похоже линейный порядок и количество неразрывны - как бы там ни сдвигалась шкала собственно линейки.

я термин "порядок" как раз в смысле упорядоченных множеств в математике использовал.
"отношение порядка" это называется. когда для каждого элемента есть предыдущие и последующие.
оно всегда "линейное" - то есть, точки на плоскости это система, но не "упорядоченная" в этом узком смысле.

далее, линейный порядок и количество действительно связаны. объясню как, на русском.

количество - это определённое свойство множеств. понять его "суть" можно, вспомнив, как вообще возникает идея, скажем, количества "пять". тот, кто впервые формулирует эту идею (ребёнок или там первобытный человек), замечает, чток учу камней, кучу плодов и кучу черепов можно расположить друг напротив друга так, что каждому черепу будет соответствовать один камень и один плод. это называется "взаимно однозначное соответствие".

бывают наборы, которые можно поставить в такое соответствие, а бывают такие, которые нельзя ("пять камней" и "три болта"). Для того, чтобы убедиться в возможности или невозможности такого соответствия, вовсе не надо иметь представление о количестве - нужно просто попробовать сделать это соответствие физически.

А потом возникает чудо абстракции - появляется идея количества как того общего, что есть у разных наборов, приводимых в соответствие. В маьематике приводимость в соответствие называется "равномощность", а это самое общее абстрактное свойство - "мощность". По русски эти понятия значат просто "поровну" и "количество".

Так вот, эти самые количества, оказывается, можно легко упорядочить. Можно определить, что значит "в множестве А элементов меньше, чем в В". Это значит, что А можно сопоставить с куском В, а вот В нельзя сопоставить ни с каким куском А.

Далее, обнаруживается, что есть очень маленькие количества - "один элемент" и "ни одного элемента". Ну а потом выстраивается цепочка - "два элемента" это самое маленькое количество после "одного элемента", и т.п.

Собственно, "натуральное число" - это и есть "количество элементов конечного множества" (есть ещё бесконечные, причём они определяются чуть ли не проще, чем конечные".

Как видно, у натуральных чисел оказывается естественный порядок - для каждого (кроме нуля) есть предыдущее число, и для каждого есть следующее число.

Вот поэтому натуральные числа очень легко использовать для перенумерации и пересчёта. Далее происходит очередное чудо абстракции, и эти количественные числительные обретают ещё и порядковое значение. Вот тут и перепутываются "один камень" и "первый камень" и т.п.

ясно вроде, спасибо. я эти "первобытные" моменты о "зарождении математики", рассматривал в меру скромных сил, но несколько с другого боку что ли. ибо собствено математических знаний у меня чуть более "нуля". я в школе понимал и интересовался только планиметрией\стереометрией. то есть опять же далёкие от чисел вещи, пространственные и системные, где нужно понимать какие-то принципы - поприятнее слово, чем "суть"? - а странные формулы запоминать не надо. как только началась тригонометрия - на геометрию я тоже хуй положил. так вот, я себе это представлял (с поправкой на только что прочитанное), скажем так: есть "множество" из двух камней, и ещё одно - тоже из двух камней. явно видно, что "количество" их одинаково, и можно оба эти множества не только напрямую физически сопоставить, но и в отдельности "посчитать" каждое именно до двух. и что характерно, если эти "множества" выстроить линейно, то есть не сопоставлять, а продолжить одно другим - то всякий раз получится другое "множество", равное двум его составляющим. и поэтому до 4-х теперь можно считать не только в пределах одного "множества", а и посчитать отдельно два множества по 2, продолжив\соединив их не реально\физически, а виртуально\абстрактно. то есть собственно математически. вот как бы так и получается, что 2+2=4. где-то так я себе это представлял "в бреду ночных поллюций".

вот что мне не вполне понятно, говоря честно - это какого рода "перепутывание" происходит (наблюдается тобой), и что в нём такого. может я и ошибаюсь, но мне кажется, что эта самая натуральность "натуральных чисел" как бы сама и решает зачастую свои вопросы - потому что это корнями уходит в непосредственное наблюдаемое, в "физику", в то что можно пощупать. ну то есть например встречается на пути камень - это первый. следующий будет вторым, вместе их будет два, итд. потом приходишь домой, вываливаешь из кармана 5 камней, и какой из них был первым в принципе неизвестно, да и не важно. а если важно - ну значит надо было зарубку на нём поставить, например такую: "1". какие в этой или какой-то ещё ситуации могут воникнуть "перепутывания"? это не риторика.