Сверхчувственное познание
"В восемнадцатом веке, во времена Эйлера, даже крупные математики приходили иногда к противоположным результатам в одной и той же задаче. Трудно было ждать, пока многочисленные "совпадения" и гармоническая картина "целого" обнаружат, что правильно и что неверно; а задать вопрос природе с помощью приборов математики не могли. Стало быть, им надо было соорудить свою конструкцию из абсолютно прочных стержней. Эту грандиозную задачу поставили Коши и Вейерштрасс; она была решена усилиями нескольких поколений математиков, создавших вместо примитивной логики Аристотеля, донесенной до нас схоластами, современную математическую логику. При этом обнаружилось, что даже Евклид не был непогрешим: его аксиомы геометрии содержали пробелы, заполнение которых удалось лишь в конце девятнадцатого века. В это же время были формулированы аксиомы арифметики и создана необходимая для последовательного построения математики теория множеств.

Можно сказать, что достоверность математики связана не с внешним "экспериментальным" опытом, а с внутренним опытом человеческого мышления, ограниченного определенными конструктивными правилами. В математической логике объекты рассуждения (точки, прямые, целые числа и т.д. ) обозначаются символами разного рода, а процедуры вывода сводятся к механическим операциям над символами, например, к составлению из этих символов цепочек посредством соединения символов, обладающих определенными различимыми признаками. При этом, как мы уже говорили, все "творческое" содержание вывода заключается в порядке выполнения элементарных операций, каждая из которых носит вполне формальный характер и может быть выполнена не только любым человеком, но даже машиной. Придумать доказательство (логический вывод) и значит указать порядок таких операций; но распознать правильно построенный вывод как таковой может каждый (даже машина), причем не может возникнуть никаких разногласий, вывод это или нет. Таким образом, "конструктивное" ограничение внутреннего опыта, о котором была речь выше, сводится к требованию, чтобы этот опыт можно было свести к простейшему внешнему опыту над символами (различимыми предметами из любого материала). Ясно, что таким образом наш внутренний опыт, при указанных конструктивных ограничениях, приобретает объективность, недостающую построениям схоластов. Можно не заметить, что в итоге остается все же некоторый стандартизованный внешний опыт обращения с различными предметами, и рассматривать математику как "чистый разум".
А.И. Фет. Пифагор и обезьяна http://modernproblems.org.ru/science/pythagor