Ну лемма Сарда это уж совсем анализ

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Лемма Сарда — это гладкие многообразия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Утверждение аналитическое, хотя и применяется обычно в геометрии. То, что сразу сводится к случаю карт - это не "гладкие многообразия", потому что не имеет дела с их структурой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Доказательство (смотрим Милнор, глава 3) по большей части
геометрическое, только в последней (третьей) части
появляются какие-то оценки. Да и само утверждение,
как ты правильно подметил, по большей части используется
в многообразиях.

>То, что сразу сводится к случаю карт - это не "гладкие многообразия", потому что не имеет дела с их структурой.

Извини, но это очень странное утверждение.
Раньше было принято все утверждения из многообразий
доказывать в координатах. В книжке Новикова до сих
пор так делается. По-твоему выходит, что всё это —
не многообразия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Многообразие локально есть евклидово пространство. Что же представляет собой локальная теория многообразий? Глобальная другое дело. Я за то, чтобы разделять. Это принципиальное различие на мой взгляд.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Многообразие локально есть евклидово пространство.
>Что же представляет собой локальная теория многообразий?

В смысле? Дифференциальные формы, векторные расслоения,
риманова метрика, связности, кривизна, кручение —
всё это можно опеределить локально. По твоему всё сначала
надо излагать в случае открытых подмножеств
векторных пространств, а затем обобщать на многообразия?

>Глобальная другое дело. Я за то, чтобы разделять. Это принципиальное различие на мой взгляд.

Не очень понял, о чём ты. В любом случае, смотри
предыдущий параграф.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну это все определения. Содержательные геометрические утверждения о многообразиях глобальны, локальные содержательные утверждения (например, теорема Сарда) - не про многообразия.

Но флейм на эту тему не входит в мои планы, пара десятков комментариев - и спать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Скажем, теорию когомологий де Рама можно развить
для открытых подмножеств векторного пространства
и получить содержательные утверждения про них.
Согласно твоему утверждению, теория де Рама — не про многообразия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

когомологии это глобальная характеристика
открытое множество важно же, какое

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Хорошо, забьём на когомологии, я тебе ниже привёл пример с Леви-Чивита.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я правильно понимаю, что "теорема Леви-Чивита" - это существование и единственность симметричной связности, согласованной с метрикой? А это разве не очевидно вообще? Ну напишем формулы, из них выразятся однозначно символы Кристоффеля, вот тебе существование и единственность? Элементарная линейная алгебра, решение системы линйеных алгебраических уравнений. Если так, то это утверждение я бы ни к какой области математики не относил. Или имеется в виду что-то другое, более глубокое?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Я правильно понимаю, что "теорема Леви-Чивита" - это существование и единственность симметричной связности, согласованной с метрикой?

Да.

>А это разве не очевидно вообще?

Видишь ли, более-менее все широко используемые теоремы
в математике очевидны. Это из-за того, что как правило,
под эти теоремы подведены теории, которые и делают
их очевидными. Есть, конечно, и исключения, вроде
теоремы Калаби-Яо, но они редки.
Поэтому ответ на твой вопрос положительный,
но сам вопрос малосодержательный.

>Ну напишем формулы, из них выразятся однозначно символы Кристоффеля, вот тебе существование и единственность?

Если записать нормальное доказательство в координатах
(чего делать не следует), то примерно это и получится.

>Если так, то это утверждение я бы ни к какой области математики не относил.

Так и зафиксируем: Федя Петров не относит теорему
Леви-Чивиты к дифференциальной геометрии.

>Или имеется в виду что-то другое, более глубокое?

Нет, именно это и имеется ввиду.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Есть, между прочим, целая наука про то,
как строить связности, аналогичные Леви-Чивита, для других
структурных групп. Популярная с недавних пор наука
о многообразиях с тотально антисимметричным кручением
вся об этом. И работ про такие многообразия
написаны сотни.

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А эта наука на многообразиях со струкутрами "в целом" или локально?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дурацкий вопрос.
В начале 1990-х, возможно, имел смысл, но не сейчас,
выражение "дифференциальная геометрия в целом" вышло
из употребления лет 15 минимум

Привет

(Reply to this) (Parent)

Интересно. А есть ли какой-нибудь обзор на эту тему?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Очень хороший, но устарелый обзор
http://arxiv.org/abs/math/9908015
с тех пор, кажется, обзоров не писали.
Впрочем, точно не скажу, литературы
страшно много, особенно у физиков.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent)

И вот еще одно
http://arxiv.org/abs/0709.1231

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо!

(Reply to this) (Parent)

действительно, геометрия бывает в малом (локальная) и в целом (глобальная). но довольно странно относить к анализу геометрию в малом, например кривизну (как сказано в соседнем комменте)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я считаю, что "относить" следует не понятия, а утверждения. Теорема Гасса-Боннэ - пример утверждения про кривизну, которое относится к геометрии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теорема Леви-Чивиты содержательна в локальном случае.
Более того, её глобальная форма немедленно вытекает из локальной.
Согласно твоему критерию, эта теорема не про многообразия.

(Reply to this) (Parent)