> Например, высказавания про любые натуральные числа.

А без "например"? Имеется какой-нибудь вменяемый способ определить, какие общие высказывания допустимы, а какие нет? Или без революционного правосознания никак?

> А это — общее высказывание другого рода,
> нежели описанное ранее. Там речь шла про любые
> натуральные числа, а здесь — всего лишь про любой
> акт проверки. Это понятия вообще лежат
> в разных плоскостях.

Крайне поверхностный аргумент. В одном акте проверки фигурируют красные счётные палочки, в другом — зелёные паровозы, в третьем — электроны в кристалле полупроводника. Внешне ничего общего.

Суть дела одна и та же и в случае "любых сложений 2+2", и в случае "любых натуральных чисел": мы берём материальный объект и отвлекаемся от тех его свойств, которые для нас в данном конкретном случае несущественны (и на существенные заметного влияния не оказывают). Такое отвлечение может быть допустимо (в том числе для натуральных чисел, для которых мы конкретизируем наш общий тезис), а может быть и недопустимо (в том числе для конкретного акта сложения 2+2). Так что принципиальной разницы между "любыми натуральными числами" и "любыми сложениями 2+2" я совершенно не вижу (вижу только субъективное ощущение, что "2+2" — это что-то более надёжное, чем "любое натуральное число"). Но почему чьи-то личные тараканы должны считаться научной позицией?

> Так при проведении экспериментов в физике
> и биологии тоже могут быть сбои, что с того?

Так я ровно о том же: ничего с того. Потому что любой общий закон в каждом конкретном случае действует не в чистом виде, а налагается на действие других законов (многие из которых мы вообще игнорируем т.к. их влияние пренебрежимо мало). Сбой на самом деле означает лишь то, что в данном конкретном случае определяющими оказались не учтённые, а как раз-таки проигнорированные нами обстоятельства. Ну так ведь и в конструктивной математике то же самое: есть общий закон (не учитывающий конкретных параметров машины), и есть дополнительные условия (эти самые параметры), которыми иногда пренебречь можно, а иногда нельзя. В чём проблема-то?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Существенное отличие заключается в том, что в одном
случае отвлечение от несущественных свойств
носит непринципиальный характер (если машина дала
сбой, можно запустить её ещё один раз), а во втором
— принципиальный. В математике информатиков
и feasibility-believers допускаются только те
конструкции, которые имеют материальное выражение,
а в «конструктивной» математике — нет.
Вот я создам конструктивный объект — программу,
которая считает количество простых чисел
до 10^(10^6). И что? Эту программу нельзя
ни на чём запустить в обозримом будущем.
Вполне может быть так, что из-за физических
ограничений её не удастся запустить никогда.

В то время как конструктивисты вешают другим лапшу
на уши о материальной представимости своих объектов,
информатики и feasibility-believers реализуют
эту представимость на практике. Конструктивно
верное утверждение о коммутативности сложения
совершенно бессмысленно с этой точки зрения.
Зато у финитистов (так я буду называть информатиков
и feasibility-believers) всё чётко:
сложение натуральных чисел меньших 10^(10^6) коммутативно.
И если им дают два таких числа, то пожалуйста,
они запускают машину и демонстрируют, что здесь
всё вполне материально.

Позиция конструктивистов была бы обоснованной,
если бы давала какие-то практические преимущества.
Но ведь и на практике никому не надо складывать
любые натуральные числа, а надо
складывать весьма и весьма ограниченные числа.
То есть финитистская позиция полностью охватывает
всю практику приложения математики.

И не надо привлекать никакой схоластики, вроде
абстракции потенциальной осуществимости или
подсчёта количества ангелов на кончике иглы.

>А без "например"? Имеется какой-нибудь вменяемый способ определить, какие общие высказывания допустимы, а какие нет? Или без революционного правосознания никак?

Имеется. Если высказывание имеет материальное представление,
которое мы можем реализовать здесь и сейчас, то оно
допустимо. Иначе — нет. И никакой схоластики.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если ошибка произойдёт в АСУ ядерным боезапасом США, то "другого раза" может уже и не быть :-) Но главное даже не это. Главное то, что Вы никогда не сможете абсолютно чётко провести границу между числами "хорошими" и числами "плохими". Вы киваете на 10^(10^6)? Ну, так ведь одно из двух:

1) Либо Ваш текст есть не само число, а описание порождающего оное процесса. Тогда, раз этот процесс не доводится "в железе" до победного конца, то никакого числа Ваш текст не определяет — а раз так, то и "границей" никакой не является!

2) Либо Ваш текст есть само число (т.е. натуральные числа — это не набор палочек, а выражения более сложной природы). Тогда непонятно, а что в нём такого ужасного: девять байтов, с которыми прекрасно можно работать. Т.е. это опять же никакая не граница.

Итак, при любом из указанных раскладов "финитисты" заходят в порочный круг. Давно известный, кстати. Как выкручиваться будем?

> Зато у финитистов (так я буду называть информатиков
> и feasibility-believers) всё чётко:
> сложение натуральных чисел меньших 10^(10^6) коммутативно.
> И если им дают два таких числа, то пожалуйста,
> они запускают машину и демонстрируют, что здесь
> всё вполне материально.

У конструктивистов ещё более чётко: сложение любых двух чисел, которые можно сложить в любом порядке на рассматриваемой машине, коммутативно. Берём и проверяем. Переполнение получили? Копыта откинули, не дождавшись ответа? Ну, извините: вот как раз про такие случаи мы ничего и не обещали.

> Но ведь и на практике никому не надо складывать
> любые натуральные числа, а надо
> складывать весьма и весьма ограниченные числа.

"Любые" — это и означает "любые, которые надо". А ещё точнее — "любые, которые сможем сложить на рассматриваемой машине". Так что этот пассаж вообще мимо цели.

> И не надо привлекать никакой схоластики, вроде
> абстракции потенциальной осуществимости или
> подсчёта количества ангелов на кончике иглы.

К сожалению, математика — это наука, а не сборник протоколов о выполненных конкретных вычислениях. А наука оперирует общими утверждениями, которые всегда абстрактны. И оттого, что на этот фактик кому-то "удобно" закрыть глаза, он не исчезает. Кстати, именно поэтому наибольшие крикуны против схоластики обычно сами же и оказываются наибольшими схоластами: обойтись без абстракций вообще не получается, а их анализа они проводить не умеют :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Главное то, что Вы никогда не сможете абсолютно чётко провести границу между числами "хорошими" и числами "плохими".

Очень даже могу. Допустимы те числа, которые мы можем
материально представить на доступных нам машинах.
Естественно, эта граница меняется со временем.

>Либо Ваш текст есть не само число, а описание порождающего оное процесса. Тогда, раз этот процесс не доводится "в железе" до победного конца, то никакого числа Ваш текст не определяет — а раз так, то и "границей" никакой не является!

Текст 10^(10^6) есть описание процесса.
И этот процесс очень даже доводится до победного конца.
Или вы считаете, что машине проблематично
выписать единицу, за которой следует миллион нулей?

>У конструктивистов ещё более чётко: сложение любых двух чисел, которые можно сложить в любом порядке на рассматриваемой машине, коммутативно. Берём и проверяем. Переполнение получили? Копыта откинули, не дождавшись ответа? Ну, извините: вот как раз про такие случаи мы ничего и не обещали.

Уточняющий вопрос.
Возьмём числе Грехема. Обозначим его G.
Имеет ли в конструктивной математике смысл следующее
тождество: 2G + 3G = 3G + 2G?

>"Любые" — это и означает "любые, которые надо". А ещё точнее — "любые, которые сможем сложить на рассматриваемой машине". Так что этот пассаж вообще мимо цели.

Очень интересно. В таком случае, поясните пожалуйста,
как здесь используется абстракция потенциальной осуществимости.
И используется ли она здесь вообще?

>К сожалению, математика — это наука, а не сборник протоколов о выполненных конкретных вычислениях. А наука оперирует общими утверждениями, которые всегда абстрактны. И оттого, что на этот фактик кому-то "удобно" закрыть глаза, он не исчезает. Кстати, именно поэтому наибольшие крикуны против схоластики обычно сами же и оказываются наибольшими схоластами: обойтись без абстракций вообще не получается, а их анализа они проводить не умеют :-)

А что, я выступаю против абстракций? Вовсе нет.
Например, в финитизме используется абстракция
свободы от ошибок.
Финтизм выступает только против тех абстракций,
которые не имеют за собой материального основания,
вроде абстракции потенциальной осуществимости.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Допустимы те числа, которые мы можем
> материально представить на доступных нам машинах.
> Естественно, эта граница меняется со временем.

Если добавить к этому фразу "и допустимы те операции с числами, которые мы можем провести на доступных нам машинах" — получится в точности позиция конструктивной математики. Так что тогда не так-то?

> Обозначим его G.
> Имеет ли в конструктивной математике смысл следующее
> тождество: 2G + 3G = 3G + 2G?

Нет, не имеет. Потому что в выписанном Вами тексте это просто буква (а как умножать буквы на натуральные числа — непонятно). Чтобы получить нечто осмысленное, надо либо подставить вместо обозначения G собственно обозначаемое число (а за это Вы вроде не берётесь), либо честно признать, что речь идёт не непосредственно о Вашем тожестве, а об арифметической формуле вида \(\exists x (G(x))\land (2x+3x=3x+2x)\), где через \(G\) обозначен предикат "быть числом Грехема". Формула же сия имеет зело ясный смысл (и обсуждать можно только проблему верности этой формулы с точки зрения оного смысла).

> В таком случае, поясните пожалуйста,
> как здесь используется абстракция
> потенциальной осуществимости.
> И используется ли она здесь вообще?

Боже, ниспошли мне терпения :-( В триста тридцать третий китайский раз повторяю: все реально запускаемые нами вычислительные процессы мы делим на два сорта — те, которые не наталкиваются на границы наших конструктивных возможностей, и те, которые наталкиваются. Процессы первого сорта мы рассматриваем в конструктивной математике (и для таких процессов её выводы прекрасно работают). Процессы второго сорта мы не рассматриваем в оной (а потому утверждение, что для таких процессов выводы КМ могут разойтись с реальностью, не говорят ничего: тут мы ничего и не обещали). Вот эта-то "фильтрация" вычислительных процессов и есть абстракция потенциальной осуществимости. А каким образом эта "фильтрация" осуществляется в каждом конкретном случае, для каждой конкретной машины — это другой вопрос. Важный, интересный, но другой.

Что в сказанном "не имеет материального основания"?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тогда всё становится ещё проще.
Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
конструктивным натуральным числом?

Что касается остальное, то andrey_bovykin@lj
формулирует гораздо более содержательные вопросы:
http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=680982#t680982

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
> конструктивным натуральным числом?

Нет, не является. Зато теоремой конструктивной математики является утверждение, что при наличии достаточного количества ресурсов эта программа будет результативной. Точно так же, как другой теоремой этой же самой конструктивной математики является утверждение, что для современной вычислительной техники оных ресурсов не хватит (в этом отношении КМ вполне разделяет Ваш подход к вопросу: Вы тоже не брали это число "в железе", а охарактеризовали его перечислением неких свойств, после чего теоретически заключили, что среди "относительно осязаемых" чисел объекта с требуемыми свойствами не имеется).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Кстати, может быть, Вам будет интересен блог о "perceptions of infinity in mathematics", его ведут логик-групповик (группы Морли) и фолософ, по гранту христианской организации Templton foundation :

http://dialinf.wordpress.com/

(Reply to this) (Parent)

не могу вмешаться по сути, но мне Ваш спор напоминает о фразе, кажется, Адамса из книжки про Пространства Петель.

(очень неточная цитата) "когда тополог говорит, что два пространства петель совпадают, он подрузумевает, что он построил сисметему изморфизмов, которые ... и функториально ..."

также, видимо, и у конструктивистов --- постоянно должны подразумеваться оговорки о реализуемости .. впрочем, может я ошибаюсь.


Но ведь и на практике никому не надо складывать
любые натуральные числа, а надо
складывать весьма и весьма ограниченные числа.
То есть финитистская позиция полностью охватывает
всю практику приложения математики.

ага. но, скорей,
практику "наивного" приложения математики (без всяких теорем лефшеца в физике..)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>также, видимо, и у конструктивистов --- постоянно должны подразумеваться оговорки о реализуемости .. впрочем, может я ошибаюсь.

А вот я никак не могу понять. В одном месте я вижу
чисто финитисткие высказывания, в другом —
странные разглагольствования про абстракцию
потенциальной осуществимости.

>ага. но, скорей,
>практику "наивного" приложения математики (без всяких теорем лефшеца в физике..)

Вот-вот. И я о том же.

(Reply to this) (Parent)