об анабелевой программе Богомолова
Пусть k алгебраически замкнутое поле, и пусть X многообразие над
ним. Будем обозначать K=k(X) поле рациональных функций на X, а G_K его
абсолютную группу Галуа. Одна из задач анабелевой геометрии ---
восстановить X, а точнее k(X), по G_K.

Подход Богомолова основан на простом наблюдении, что максимальный
про-l фактор абелианизации G_K это Hom(k(X)^\times, Z_l) (теория Куммера!),
то есть мультипликативную группу (а точнее, двойственную ей) мы по абсолютной
группе Галуа считай знаем. Поскольку k алгебраически замкнуто,
k^\times бесконечно делима, и можно за те же деньги рассматривать
Hom(K^\times/k^\times, Z_l). Кстати, мы не обязаны рассматривать про-l
фактор, всё то же верно в не-про-l варианте, если подставить \hat Z на
место Z_l, но про-l (l отлично от характеристики k) версия, как потом
окажется, предпочтительней.

Рассмотрим фактор мультипликативных групп
K^\times/k^\times. Во-первых, это абелева группа, во-вторых, это
проективное пространство. Проективная структура это множество точек и
множество линий плюс отношение инцидентности. Второе замечательное
наблюдение богомоловского подхода заключается в том, что абелевы
группы вида K^\times/k^\times с проективной структурой (сдвиги
переводят линии в линии --- такие отображения называют коллинеациями),
определяют поле K.

Это легко следует из классической проективной геометрии. Если K/k
расширение хотя бы степени 3, то K^\times/k^\times обладает
проективной структурой, которая удовлетворяет аксиомам Дезарга и Паппа
(в нашем случае расширение вообще трансцендентное), что позволяет
применить основную теорему проективной геометрии и найти изоморфизм
между P(V) и K^\times/k^\times, где V --- k-векторное
прострнаство. Зная k, мы можем определить k-*алгебру* эндоморфизмов
K=V. Какие-то её элементы будут совпадать с умножением на элемент
K^\times, назовём их A. Ясно, что по тавтологическим причинам
подалгебра, порождённая A, будет совпадать с K. То есть, умножение на
K мы знаем благодаря знанию мультипликативного группового закона на
К^\times/k^\times, сложение --- потому что знаем сложение на K как на
k-векторном пространстве.

Далее в дело вступают хитрые трюки, с помощью которых на
Z_l-модуле Hom(K^\times/k^\times, Z_l) обнаруживается дополнительная
структура, которая описывает геометрию X, к сожалению, интересной эта
структура начинает быть только от размерности 2 и выше. С помощью этих
трюков удаётся также восстановить проективную структуру на K^\times/k^times.

[продолжение следует]