Это ужасно интересно -- до какой степени эта деятельность есть продолжение физики и до какой -- просто возня с функциональным интегралом. Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом? С другой стороны, если такой процесс производства математических идей упирается в фигуру Виттена, то нет ничего особенно удивительного, если один человек, пусть даже и выдающийся, построил свою карьеру на одном приеме. Который прием он освоил лучше всех остальных, и из которого он сам же и извлечет в основном все, что можно из него извлечь. Деятельность же в целом может быть при этом гораздо шире.

Это действительно интересно. Мне кажется, что только возня с интегралом Фейнмана. Реально, все интересное идет от Виттена, и это один этот прием. Конечно, мне не следует делать слишком категорические утверждения, я недостаточно хорошо знаю предмет. Но Манин, несомненно, знает очень хорошо.

"Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом?"

Возможно, проблема в коммуникации. Нет изложения, доступного математикам. Математик может жить без конструкции интеграла Фейнмана, если ему четко скажут, как с ним обращаться.

Другой вариант - никакого интеграла Фейнмана в природе нет, есть несколько разрозненных приемов его вычисления, и все аналогичные приемы скоро будут исчерпаны.

Еще один вариант состоит в том, что фейнмановский интеграл имеет смысл, но не как величина, сопоставляемая формуле, которая выписывается как его подынтегральное выражение, а как величина, сопоставляемая некой гораздо более богатой информации, с которой ассоциируется в сознании физика эта формула, но которую он формализовать не может.

Вероято, так и есть. Отсюда и проблема коммуникации. С другой стороны, это просто другой (лучше, чем мой) способ сказать, что интеграла Фейнмана нет - есть разные ситуации, с разной скрытой физической информацией, которые в силу исторических обстоятельств доходят до нас (математиков) в этой упаковке.

Ну, Виттен -- далеко не единственный. Из тех, у кого всерьез получается делать математические предсказания. Выросло новое поколение полуфизиков-полуматематиков, Капустин, например. Про манипулирование с оным интегралом. Я думаю, пока что всё упирается в то, что в математике плохо разработана бесконечномерная геометрия, функциональный интеграл -- это подлежащая комбинаторика. Как мы с тобой уже обсуждали -- бесконечномерных пространств без структуры не сусществует. Соответственно, я бы ожидал, что Фейнмановский интеграл формализуется в тот момент, когда геометрия (а не топология) пространств путей и петель, да и вообще отображений, алгебраизуется в достаточной степени. Пока что, насколько я понимаю, даже в самых простых примерах (алгебро-геометрические аналоги пространства петель со значением в аффинном многообразии), геометрии, то есть теории пучков и пр., практически нет, то, что есть у Дениса в частных случаях -- это искусственные конструкции, использующие комплексню кривую, куда вложена окружность. А 20 лет назад не было и этого, и Б.Ф. рассуждал, что в аффинном пространстфе флагов есть клетки конечной размерности, есть клетки ко-конечной размерности, но есть еще и полубесконечные клетки. На самом деле, речь идет про три разных многообразия флагов.