Еще один вариант состоит в том, что фейнмановский интеграл имеет смысл, но не как величина, сопоставляемая формуле, которая выписывается как его подынтегральное выражение, а как величина, сопоставляемая некой гораздо более богатой информации, с которой ассоциируется в сознании физика эта формула, но которую он формализовать не может.

Мне очень понравилась эта формулировка posic@lj выше. Я думаю, что эта более богатая информация каждый раз своя. А интеграл Фейнмана, красивая формула, ее маскирует.

Развивая аналогию с Эйлером, если мы хотим вычислить 1+2+3+4+5+..., то мы можем это сделать только имея более богатую информацию о том, зачем нам это надо (или что это такое). Некие "математические соображения". Формула 1+2+3+4+5+... маскирует их. Аналогично, я подозреваю, что формула Фейнмана маскирует физические соображения.

Некоторые статьи Виттена непосредственно доступны математикам, без переводчиков. Я читал немного. В них он не ограничивается формальным интегралом Фейнмана, а приводит и много других соображений, ведущих к его утверждениям.

Серьезная наука о суммировании расходящихся рядов была и потом потеряла актуальность. Эйлеру она была не нужна. Потом навели "строгость", и по новым опредeлениям всякие интересные ряды оказались просто расходящимися. Потребовалось время, чтобы заново научиться их интересно суммировать; суммирование по Борелю - один из методов. Уже давно в этом предмете нет никакой тайны, а в современной математике реально нет и разговора о суммировании расходящихся рядов - математики обсуждают непосредственно математические соображения, стоящие за суммой. Так что -1/12 - это ζ(-1), а не 1+2+3+4+5+... Здесь ζ(z) - это аналитическое продолжение тривиально суммируемого при Re z > 1 ряда, простейший пример L-функции, whatever this means.

Да, про дзета-функцию я знаю. И даже про L-функции слышал. Если продолжить аналогию, это означает, что существует другой математический объект (или класс объектов), несовершенным выражением которого являются нынешние фейнмановские интегралы. Являются ли размышления в этом направлении интересным и перспективным математическим занятием или нет? Мой вопрос был об этом. Сразу скажу - ответа на вопрос, являются ли они интересным и перспективным занятием для физики, я не знаю.

Математика (чистая), в определенном смысле, неактуальная наука. Ни в каком смысле, кроме карьерного для данного человека, неважно, когда решат ту или иную задачу. Поэтому если есть потециально интересный повод для размышлений, то почему бы и не поразмышлять? В худшем случае ничего не получится, но так это обычное состояние математика - задача не получается.

Насколько перспективны попытки найти структуру, стоящую за интегралом Фейнмана, мне сказать трудно. На самом деле, я главного не знаю: как обстоит дело в физике. Является ли интеграл Фейнмана воплощением одной физической идеи, или каждый раз другой? Если одной, то, наверное, рано или поздно математики ее поймут и превратят в нечто абстрактное. Если применение интеграла Фейнмана каждый раз требует дополнительных физических соображений, то, наверное, никакой особой структуры нет.

Наблюдая за математикой, я склоняюсь к второму варианту. Способы превратить "предсказанные" физиками утверждения в математические теоремы настолько разные, что трудно себе представить, что за ними стоит единый принцип.