>как из конечности К' следует конечность или конечная порождаемость К?

Доказано, что К' конечно порождено над F, а К конечно порождено над К'. Значит, К конечно порождено над F.

>(Что если К' конечно, а К - его алгебраическое замыкание?)

Алгебраическое замыкание не является конечным расширением конечного поля.

>И где у Вас используется предположение, что a_0,...a_n принадлежат к K?

Я попросту доказываю, что любые n+1 элементов поля К линейно зависимы над К'.

>По-моему, замена b_0 на b_0(c) некорректна: пусть a_0=t, a_1=t^2+t, b0=t+1, b1=-1, c=0, получим t - (t^2+t)=0.

Нет же. a_0,...a_n - элементы поля К. Они алгебраичны над К' и не могут быть многочленами (которые трансцендентны).

>Вместо предположения что L'=K'(t) можно использовать теорему о том, что любой ненулевой полином (с несколькими переменными) над бесконечным полем принимает ненулевые значения.

Разумеется.

Доказано, что К' конечно порождено над F, а К конечно порождено над К'. Как доказано, что К конечно порождено над К' (в случае, когда К' конечно?)

А ведь действительно, если K' конечно, то не работает доказательство того, что K:K' имеет конечную размерность.

К' -- это чисто трансцендентное расширение поля F, поэтому если оно нетривиальное, поле K' будет бесконечным (изоморфно полю рациональных функций от некоторого множества переменных). Поэтому K' может быть конечным только если K'=F -- конечное поле. В этом случае K будет алгебраическим расширением F, и нужно показать, что оно будет конечно порождено.