> складывали 5 и 7 супербыстрым методом,
> корректность которого выведена из арифметики,
> и получили -3

Не-не-не, давайте не устраивать путаницы. Мы ничего не складывали — мы провели некий алгорифмический процесс, который дал результат "-3". На арифметике тут была основана отнюдь не сама возможность осуществления этого процесса — на ней было основано теоретическое допущение, будто его результаты всегда совпадут с результатами другого (но тоже реального!) процесса (сложения). Оказалось, что такого совпадения нет — подумаешь, какая катастрофа! Да мало ли было в истории науки таких неверных допущений? Закон Бойля тоже выполняется лишь приближённо — и что, в момент обнаружения этой приближённости исчезли газы, к которым он ранее применялся, или из учебников физики сами собой стёрлись основанные на этом законе выкладки? Да и зачем так далеко ходить: я вот только что "сложил" стандартными средствами C два числа 40000 типа short — и знаете, оттого, что на выходе я получил -51072, мир ни разу не перевернулся.

> А про интуиционистскую логику ещё почему-то пишут,
> что она лишена "закона исключённого третьего":)

Вот именно потому, что так "пишут", Гейтинг и рвал на себе волосы :-) Потому что когда идиот со съеденным формальными системами мозгом видит исчисление и не видит в нём закона исключённого третьего — он тут же решает, что этим законом вообще запрещено пользоваться. Невдомёк идиоту, что «интуиционизм развивается независимо от формализации, которая может только идти по следам математической конструкции» (Гейтинг, «Интуиционизм», 1965, стр. 13), что «в любой момент открытие новых методов рассуждения может заставить нас расширить формальную систему» (там же) и что в разных ситуациях могут оказаться пригодными разные логические средства — идиоту вынь да положь исчерпывающий набор правил, годный на все случаи жизни.

Так вот: при некоторых условиях интуиционистская (настоящая, а не возведённая в догму идиотами, строящими на её базе всякие "интуиционистские теории множеств") логика вполне допускает закон исключённого третьего. Здесь как раз тот случай :-)

> Я считаю, что слово "существовать" применимо к ним
> только как квантор в математическом контексте.

А я считаю, что четыре пальца — это четыре пальца, а не три и не пять (независимо от того, слышали мы про аксиомы Пеано, или не слышали). И 220 вольт — это именно 220 вольт (и чтобы превратить их в 12, нужен трансформатор, а не смена аксиоматики).

> И как?

А так, что непонятно:

1) Почему все свойства, аксиоматизированные в ZF, выполняются для канторовских (содержательно понимаемых!) множеств?
2) Почему в ZF аксиоматизированы все свойства, выполняющиеся для канторовских множеств?

Может, правильным является использование не ZF, а сочетания ZF+континуум-гипотеза? Или наоборот — ZF+отрицание континуум-гипотезы? Вот на этот вопрос Коэн ответил?

Что мне толку знать, что для гёделевской рекурсивной функции с формальной арифметикой совместимо как утверждение о её тождественном равенстве нулю, так и обратное? Получу ли я в действительности хоть одно отличное от нуля число, если запущу на реальной машине последовательно вычисляющую значения этой функции программу, или не получу — вот что меня единственно волнует. Hic Rhodus, hic salta.

> неточности (антиномии)

Дались же Вам эти антиномии. Напоминаю, что первую из них (невозможность множества всех кардиналов) обнаружил сам Кантор. И если Вы полагаете, что он тут же бросился придумывать формальную аксиоматику, в которой соответствующее рассуждение не проходило бы — то зря. Кстати, переписку Кантора с Дедекиндом (где сия антиномия, в частности, обсуждалась) в сети я точно видел.

> На конкурсах (олимпиадах письменных, например)
> могут выше оценить работу, в которой
> больше вариантов додумывания

Что олимпиады — зло, я всегда знал :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(Reply to this) (Parent)