То есть тут два очень разных вопроса.

1. Можно ли написать какие-то аксиомы, в которых знакомая математика легко сделается (формализуется)?

2. Можно ли выписать какие-то аксиомы, которые помогут нам заниматься математикой, например отвечать на наши сложные вопросы?

Ответ на первый вопрос известен за много лет до Бурбаков.

В качестве ответа на второй вопрос бурбаковская система не подойдет, ибо слаба и беспомощна.

Нужны более сильные системы, но они все друг дружке противоречат. Какую из них выбрать?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ответ на первый вопрос известен за много лет до Бурбаков.
По-моему, до Бурбаков не ответ известен, а святая вера в знание ответа была у некоторых. Их труд — типа проверки этого метаматематического (в смысле Гильберта) тезиса, который, к тому же, так себе: тяжеловато получилось для народа.

В качестве ответа на второй вопрос бурбаковская система не подойдет, ибо слаба и беспомощна.
Нужны более сильные системы, но они все друг дружке противоречат. Какую из них выбрать?
Теорема-то Гёделя, которую якобы Бурбаки не учитывали, предполагаю, и сподвигла их на ограничение себя ЦФ (и то: из-за аксиомы выбора сколько разговоров).

И почему более сильные системы нужны? Или есть системы, где как-то механически недоказуемость определяется, непротиворечивость которых, так сказать, на том же уровне неопределённости, что и непротиворечивость ЦФ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Определение 1.

Арифметическая сила теории (arithmetical strength) - это множество арифметических утверждений, доказуемых в данной теории.
Теории образуют частично упорядоченное множество по включению, по своей силе.

Определение 2.

Пи_1-сила (Pi_1 strength) теории - это множество арифметических утверждений с одним квантором всеобщности, доказуемых в этой теории.
Теории образуют частично упорядоченное множество по включению по своей Пи_1 силе.

Определение 3/

Consistency strength (количество силы). Для теорийй Т_1 и Т_2, скажем Т_1 < Т_2 если Т_2 доказывает непротиворечивость Т_1.

Математики задают много осмысленных вопросов. Сейчас, после Арифметизации, оказывается, что практически все их вопросы можно или сформулировать или приблизить на языке арифметики первого порядка, то есть это осмысленные утверждения, без сепулек.

Некоторые из этих утверждений содержат силу (в каком-нибудь из трех определений), некоторые - пустышки, не содержат никакой силы.
Каждое арифметическое утверждение попадает в какую-то лунку: некоторые теории его доказывают, некоторые - опровергают, некоторые целиком из него следуют и т.д.

Разноголосица разных теорий, сильных, слабых, всяких, и всех друг с дружкой не соглашающихся - основое открытие логики в 20 веке. Когда-то математики верили, что (осмысленные, арифметические) утверждения делятся на "истинные" и "ложные". Теперь всё по-другому....

Это был мой ответ на твой вопрос "зачем нужны сильные теории?" Чтобы отвечать на арифметические вопросы! И ответ будет не "да" или "нет", а взвесь разных ответов разных теорий.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Андрей, замечательное место, где ты находишься, считает мой ответ спамом. Сделай с этим что-нибудь.

Текст был таким:
> Esche tebe napisal.
Я потихоньку читаю, потом разом отвечу по ощущениям.

> Разноголосица разных теорий, силньных, слабых, всяких, и всех друг с дружкой не соглашающихся -
> основое открытие логики в 20 веке. Когда-то математики верили, что (осмысленные, арифметические)
> утверждения делятся на "истинные" и "ложные". Теперь всё по-другому....
>
> Это был мой ответ на твой вопрос "зачем нужны сильные теории?" Чтобы отвечать на арифметические
> вопросы! И ответ будет не "да" или "нет", а взвесь разных ответов разных теорий.

И скоро ли слово "сепульки" будет ассоциироваться не только с нелюбимыми множествами, но и с натуральными числами? (Или проблема и в том, что они бывают вплетены в основу логических рассуждений вообще? Помню, меня это очень поразило и расстроило, когда я изучал логику... на философии в аспирантуре.)

Я пока не понял, чем это дискредитирует Бурбаков: все теории не описать, они взяли что-то (достаточно сильное) и построили в ней. Почему бы теперь не построить такое в других, не сравнить, так сказать, полномасштабно?

Математике как особому виду деятельности по построению моделей для применения в науках, конечно, должно быть плевать на конкретную основу, лишь бы минимизировать риск совсем несуразных внутренних противоречий. И в этом сильные теории ведь не помогают больше чем почти вековая ЦФ, или как?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

--- сепульки, "множества" и труляляшки не вплетены естественным способом в человеческие рассуждения. Это придуманные штуки, которые, впрочем, имеют свои мнения по разным осмысленным арифметическим вопросам.

--- Нет, если ты о том, что Бурбаки сели и записали как какие-то теоремы следуют из каких-то аксиом, то я с тобой согласен - молодцы. Не первые, не вторые, но основательно постарались. Критикуют их за то КАК они это сделали (например статья Матиаса про количество символов, участвующих в ИХ опеделении числа 1) и за то, во что они при этом публично верили (верварские примитивные верования: Солнце ходит кругами над землей, а земля плоская и т. п.).

--- я не согласен, что математика лишь строит модели в науках. Математика отвечает на всякие математические вопросы, например про простые числа. На "большинство" вопросов невозможно ответить, используя PA или ATR_0, а у сильных теорий - разноголосица.

(Reply to this) (Parent)

> Когда-то математики верили, что (осмысленные, арифметические) утверждения
> делятся на "истинные" и "ложные". Теперь всё по-другому..

Бедненький глупенький Марков. Так ведь до самой смерти и полагал, дурачина, что конъюнкция замкнутых формул выражает истинность обеих членов (см. «Избранные труды», Т. 2, стр. 404), а замкнутая формула с квантором общности означает наличие общего метода, позволяющего устанавливать опять же истинность формул определённого вида (там же, стр. 404 и 413). И в лекциях своих, лопушара отсталый, писал, что наличие семантики позволяет квалифицировать одни формулы языка как верные, а другие — как ложные (там же, стр. 437).

Полный лох был, одним словом. То ли дело нынешнее поколение!

(Reply to this) (Parent)