Это не особо важно. Я тогда даже педагогом не был: дома валялась, вот и почитал: Артин Э. Геометрическая алгебра Наука 1969. Легко находится в интернете.

Кстати, у Рыжика на первый взгляд — обычные педагогические рассуждения, которые интересны деталями, но типичны. То есть: это я хорошо отозвался. Например, в "Науке и жизни", кажется, он ЕГЭ ругал — мне очень не понравилось.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо.

Т.е. типична ругань "логического" подхода и призывы на переход к "историческому"?

Мне кажется, что Локхард и Рыжик серьёзно перекликаются. С другой стороны, Рыжик очень сильно драл уши за формалистику - "грязный" рисунок и орфографические ошибки. По крайней мере, с 5 можно было легко попасть на 4.

С третьей стороны, у него курс состоял из задач. А задачи были интересные и разные. Т.е. метода преподавания такая - дома читаем параграф, обязательно несколько раз, затем в классе вопросы по нему и решения задач у доски (по домашним)/в классе (новые). Иногда проверочные.

Рассказать задачу у доски - привилегия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Почему "логический" подход работает хреново, в общем-то понятно - наши мозги прекрасно воспринимают информацию, когда она специальным образом ассоциирована. Когда есть много чётких связей, много побочной доп. информации, желательно эмоциональной.

А вот беспорядочный набор информации или логически сухой запомнить тяжело.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Для чего работают?

И не лучше ли "исторический" подход делать с выдуманной "историей", например? И чем он тогда будет отличаться от "логического"?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Для чего работают?

Для запоминания.

> И чем он тогда будет отличаться от "логического"?

Постановкой проблем, решая которые, ученики должны частично формулировать сами правила общения с объектами. Т.е. учитель должен не выдавать решение сразу, а заставлять его найти, естественно, подправляя направление мысли ученика. Это у Рыжика скрыто, но это тем не менее, подразумевается под "историческим подходом" - см. вопросы ученику курсивом.

И это как раз полностью совпадает с Локхардом, который как раз и упирает на то, что оригинальные задачи у учеников отбираются, а вместо этого им даются уже составленные алгоритмы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

полностью совпадает с Локхардом
Локхард крайне неконкретен, с ним если и может что-то пересекаться, то не "совпадать", тем более "полностью".

а вместо этого им даются уже составленные алгоритмы
Уточню. Настоящая история, по-моему, никого не волнует в этих вопросах.
Можно давать разные упражнения и при "логическом" подходе, так что по сути будут повторены преимущества "исторического" подхода. Это вопрос наличия времени, важности "понимания", интереса учеников и т.п. Это вопрос педагогических изысков. И Рыжик в заметке стремится к мифическому "пониманию", а не запоминанию.

должен не выдавать решение сразу, а заставлять его найти, естественно, подправляя направление мысли ученика
Это да, только это не особенность Рыжика или Локхарда: упражнения дают практически везде.
Когда доказательств теорем не изучают вообще (а у меня и на мат.-мехе была пара случаев, когда пользовались теоремами, которые никогда не доказывали: ни на этом, ни на базовых курсах), то упражнения носят один характер.
Когда изучают доказательства теорем, когда готовят математиков, то, например, натаскивают уже не на работу с комплексными числами, а на доказательство теорем. Тогда и упражнения другие. И они быстро перестают быть оригинальными, даже если когда-то были такими.

Если есть время и пр., то Рыжик может изучать историю и развитие науки на примере комплексных чисел, упирая на важность "сути" каких-то понятий для чего-то важного только для тех, кто не только в школе будет математику изучать ("забывая" о треугольниках, когда изучается тригонометрия).
Но время есть не у всех. Время обычно есть в спец. школах, куда не всех берут.

что оригинальные задачи у учеников отбираются
Локхард показывает, что ему важна не оригинальность самих упражнений (см. задачу про прямоугольность вписанного треугольника со стороной-диаметром), а какая-то "свобода" изложения. Цель-то у него — искусство, а не "понимание" или "запоминание".

К моей позиции…
Про "понимание" — с продвинутыми школьниками, которые легко натаскиваются на обращение с новыми объектами, можно больше работать над "пониманием": связями с другими областями математики, историей и т.п. Я скорее вижу в этом не самоцель, а попытку усиления мотивированности занятиями математикой.
Про "искусство" — то же самое.

И то, и другое не имеют значения, если школьники не могут оперировать изучаемыми математическими объектами. "Понимание" становится "пониманием" устройства бластеров в фантастическом произведении, а в "искусстве" появляются оковы, но какие-то рыхлые и непостоянные.

И попытка ставить во главу "понимание" при снижении уровня школьников сразу приводит к проблемам, например, с устными экзаменами. В некоторых известных мне случаях экзамен фактически проводили письменно, задавая лишь вопросы в духе: "Что обозначает эта буква?"— для того, чтобы убедиться, что это не бездумно переписанный откуда-то текст.

При повышении уровня школьников (или оторванности от жизни не слишком глупого учителя) та же программа, конечно, может начинать казаться более тупой. Возможно, это приведёт и к "пониманию", и к "искусству", если часов хватает. Но только в этих темах, которые легко доступны (то есть: они почти сходу научились оперировать изучаемыми объектами) этим школьникам, а не во всех подряд.

(Reply to this) (Parent)

Т.е. типична ругань "логического" подхода и призывы на переход к "историческому"?
Конечно. Это же педагогика: надо, чтобы учащиеся усвоили материал, получили "понимание", чтобы это ни значило. Локхард не об этом пишет. А Рыжик нормально пишет заметку о педагогике, причём касательно вполне определённых тенденций, условий, а не вообще. И не о математике самой по себе.

Проблемы выглядят знакомо, я потому написал о типичности.

Рыжик пишет скорее о продвинутых учениках, так что даже если он чем-то может быть похожим на Локхарда, моё недовольство Локхардом прямо на него не перенести.
Даже только одна эта фраза: "Я заметил, что проблема понимания для «продвинутых» учеников не менее остра, чем в массовой школе, хотя и другого характера,"— лишает меня возможностей проводить параллели с Локхардом.

a*b**i
Я в этом смысле больше люблю интуитивное понимание и непонимание "бесконечных сумм". Тем более, что сам специализировался на локальных полях.

От того, что ученики прорешают, к примеру, десятки уравнений про синус и косинус ничуть не углубится их понимание тригонометрических функций. Другое дело—периодические процессы, гармонические колебания, я уже не говорю о ряде Фурье.
Честно говоря, до решения уравнений мат. физики я особой потребности в алгебраической тригонометрии (с преобразованиями и кучей формул) не испытывал. Но Рыжик лукавит: о том, что он считает "пониманием" тригонометрических функций, можно только догадываться. Полагаю, что он схожие с моими потребности имеет в виду. Это не для всех подряд школьников.

В них принят онтодидактический подход.
Не совсем по теме он это заметил. Иначе сразу же изучали бы комплексные числа, а остальные называли бы частными случаями.

здесь я нашел поддержку у Поппера
Несмотря на твоё предположение, я Попперя люто ненавижу. Читал и очень не понравилось (про "Открытое общество" и какой-то бред про теорию относительности: полагаю, что то, что вошло в курс философии, разумнее, но я ему доверять не могу).

Но ведь в школьном курсе математики делается не так, а потому теория комплексных чисел как пар вещественных валится на головы учеников как снег среди ясного неба.
Потому что надо быть весьма продвинутыми школьниками, чтобы одолеть скрупулёзные построения всего от натуральных чисел. Для мат. кружков-то это не редкость.
Но "концентрический" метод в школе остаётся: сложение натуральных чисел изучают раньше сложения комплексных.

Очищенный от случайного, генетический подход погружает ученика в процесс поиска истины, формирующий понимание. (Известно—именно такой подход и есть логический.)
А-А-А!!! Говорить о понимании "понимания" не приходится: партизан Рыжик своего понимания "понимания" не выдаст, уязвлённые вольным обращением с этим словом других ("И абсолютно неясно, что стоит за оборотом: «ученик должен понимать», уже встретившимся в проектах нормативных документов.").

И вот тут-то нашей прыти действовать по аналогии заметно поубавится.
Да, это важный момент. Потому хитрые педагоги и лишают людей понимания ради обучения тому, понимание чего сложно: называют не бяками и люди готовы верить, что что-то понимают.
Некоторые граждане не замечают (или делают вид, что не замечают) компромисса и в довесок требуют "понимания".

В "Проблемной ситуации №7" я уже перестал "понимать" суть заметки и не могу с ней согласиться.

"Если сделать хотя бы это (а есть еще много чего интересного), то можно рассчитывать на куда более полное их понимание"
Среди продвинутых мат. школьников.

Именно ввиду «характерности и мучительности» я полагаю необходимым изучение комплексных чисел в средней школе, причем не только в математической, но и во всякой прочей, а особенно в гуманитарной (в последней—хотя бы знакомство с ними).
И где аргументация? Почему не ограничиться целыми числами как развитием натуральных (для натуральных ab>=a, для целых не обязательно)? Гуманитарная-то школа причём тут?

Статья оказалась слабее, чем мне показалось. Связи с Локхардом не вижу совсем.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Проблемы выглядят знакомо, я потому написал о типичности.

Можешь ли ещё подкинуть литературы на эту тему?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Нескоро: сейчас не до того (хотя и нашёл немало времени прочитать заметки и переписываться…).

Типичность Рыжика на первый мой взгляд — он напомнил семинар по педагогике (и нестандартному анализу; я делал доклад по случайной книжке, она скорее про преподавание для тупых была, там много тонкостей понимания рассматривалось) и рассусоливания преподавателя экстремальных задач (про "глубину" в классической теории вероятностей: какие примеры не надо приводить [тоже тупым студентам], чтобы не делали безумных обобщений).

Систематического педагогического образования я так и не получил (курс собственно педагогики был бредом), а пока работал учителем читал доступные на паре полок с методической литературой (почти всё по математике) книжки, и этой возможности более не имею.

Тему правильного понимания в смысле маловероятности шальных нелепых обобщений я и сам считаю важной, а достаточно конкретные заметки будут полны примеров, чем-то похожих на начало статьи Рыжика.

Сейчас в интернете не нашёл особо интересного из того, что сам раньше читал. Ну, то есть, можно много что читать, и Фройденталя (на "колхозе" есть), например: интересно пишет местами и полемично.

Хотелось бы подытожить так: не исключено, что при сравнении нескольких курсов в деталях, и я, и (ну, гипотетические скорее) Рыжик, и Локхард предпочли бы один и тот же. Причём я бы сказал, что он более сосредоточен на натаскивании, Рыжик — что способствует "пониманию", а Локхард — что подаёт математику как "искусство". А курс не подошёл бы, ибо учащиеся оказались бы не такими, как ожидалось.

(Reply to this) (Parent)