Здравствуй, Пётр!

1) По-поводу школ - ты преподавал физику или математику? Если физику, то по каким учебникам?

2) Ты читал статью П. Локхарда - "Плач математика"?
http://nbspace.ru/math/

Можешь сформулировать мнение?
Как дитёныш?

(Reply to this) (Thread)

1. Математику, конечно. (userinfo: "Образование математическое.")
Учителей физики искал и находил (они дефицитны) как организатор, даже на уроках бывал из интереса (в школе сам практически только в 11-м классе изучал: гуманитарная школа), но в методические вопросы не вникал.

2. Нет.
Сейчас пролистал. Читал http://www.maa.org/devlin/LockhartsLament.pdf

а) Аналитическая теория чисел — жесть. Но за рубежом вроде бы занимаются, какие-то оценки чего-то сомнительно улучшают. На первом курсе или до ВУЗа?! Это или фигня, или бред.
б) Бросил учёбу на первом курсе? Это странно. Странно и то, что таких берут в преподаватели формально (хоть школа и начальная). Но в принципе это не означает, что преподаватель обязательно плохой, конечно. Так как далее остепенился, то означает наличие интересного опыта и отсутствие чётких ориентиров.
I) Аналогия с музыкой бессмысленна: либо она голословна, либо такое образование среди читателей обязательно, причём мы ещё и "настоящие" музыканты, а также "настоящие" музыкальные педагоги, так что понимаем, о чём речь.
II) "They say, “math class is stupid and boring,” and they are right,"— тогда надо было не аналогии писать, а обоснования согласия с недовольными учениками.
III) "there is nothing as dreamy and poetic, nothing as radical, subversive, and psychedelic, as mathematics,"— не согласен. С духом не согласен, это нестрогое утверждение, по полочкам не разложу.
IV) "(mathematicians conceived of black holes long before,"— ага, и мировые религии тоже математики придумали, конечно.
V) "So there is just as much space inside the triangle as outside. That means that the triangle must take up exactly half the box!"— с чего бы? Я могу по-другому придумать треугольник и коробку, там по-другому получится. Замалчивается жёсткая тропа, с которой нельзя сворачивать, но автор с ней сжился, так что не считает её ограничением. Хотя см. стр. 10.
VI) "I’m not complaining about the presence of facts and formulas in our mathematics classes, I’m complaining about the lack of mathematics in our mathematics classes,"— хорошо, что объяснил. Только вот какая и кому нужная "математика" выйдет у тех, кто не может освоить "факты и формулы"? Ну а с продвинутыми школьниками — да, их неплохо ещё чем-то нагружать.
Вспомним задачки по логике про "рыцарей и лжецов": интересно их решать, да и придумывать. Но только если ты усвоил правила и чётко соблюдаешь их. Иначе это не математическое развлечение будет.
VII) "to such an extent that almost everyone knows about atoms and galaxies and laws of nature,"— хрен ли, теперь и о гипотезе Пуанкаре почти все "знают".
IX) "students learn about math from their teachers, and teachers learn about it from their teachers,"— это он о своём первом этапе преподавания, что ли?
X) "The impression we are given is of something very cold and highly technical, that no one could possibly understand,"— а что, не так? Ну да, автор (предположительно) входит в то меньшинство, что превозмогло технические детали. Пора бы понять, что не все такие умные. И со своими аналогиями ему пора бы учесть, что в музыканты и т.п. тоже единицы попадают (причём частенько только исполнителями). Оценивать творчество и творить — разные вещи. Вот сейчас Перельмана оценивают, и то из-за его выпендрёжа (который я поддерживаю), так и с искусством у большинства.
XI) Диалог ни в чём меня не убедил: голословные обещания.
XII) "(As if anyone would ever have access to that ridiculous kind of information, and not her age,"— чувак, похоже, не въезжает, что это как раз прикольно и красиво. Недаром подобные задачи тысячелетиями живут, в том числе в стихотворной форме.
XIII) "How long is the diagonal of a cube?— он, похоже, дебил. Уж это-то есть где с решением прочесть. Как и про трансцедентность пи.
XIV) "Art teachers don’t waste their time with textbooks and rote training in specific techniques,"— ну-ну. Фигачат вовсю эскизы всяких кубов, шаров, носов…
XV) "Why is it that we accept math teachers who have never,"— большинству школьников, которым из-за малости способностей не до красот, таких учителей достаточно. Настоящие математики от детей скорее впадут в уныние или начнут махать руками, рассказывая идиотские аналогии (в духе обсуждаемого текста).
XVI) "Expose them to situations where deductive reasoning is necessary,"— что делает, например, задача из XII.
XVII) "never given the chance to discover or invent such things for themselves,"— потому что если заниматься со всеми этими "даваниями шансов", то и до стабильного правильного решения стихотворных задачек про возраст не со всеми удастся дойти.
XVIII) "They were never told the history of mankind’s relationship with numbers,"— ну, в известных мне заведениях этому уделялось какое-нибудь внимание. Уж получше, чем философствования этого гражданина.
XIX) "Mathematics is not a language, it’s an adventure,"— я всё-таки за язык. Можно говорить и о возможности деления математики как русский язык/литература, кстати.
XX) "The last thing anyone needs is to be trained,"— не об этом должен думать программист, копающийся в коде коллеги.

Дочитаю и сделаю общий вывод потом.

У меня их два :0

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Дочитаю и сделаю общий вывод потом.

Мне будет очень интересно посмотреть.

Если можно, я ещё статью на похожую тему В.А. Рыжика пришлю по e-mailу. Тоже на критику.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

XXI) "most people have simply accepted this “standard model” math curriculum as being synonymous with math itself,"— у нас есть хороший невнятный термин "высшая математика": лучше всего его определять как то, что в ВУЗе проходят по математике, а не в школе. Те, кто в ВУЗе её не учил, но термин знают, в заблуждение так легко не войдут. Те, кто в ВУЗе её учат, если не совсем дураки, то тоже понимают, что это не вся математика.
XXII) "a fragmented collection of assorted topics and techniques, united only by the ease…"— да, это, наверное, серьёзная проблема. Историю математики тоже лучше бы изучать. От того желательно, кто про свою область не станет много рассказывать, да и вообще не от математика, а то ещё начнёт чушь про эстетику нести. Рефераты и доклады в России обычно делают на математике, но цельного курса об истории и становлении не наблюдал ни в школе, ни в ВУЗе.
XXIII) "aesthetics behind this choice, or even that it is a choice,"— эстетика идёт лесом, но то, где волевое решение, а где формальные выводы, в школьной математике желательно подчёркивать, да.
XXIV) "In place of meaningful problems, which might lead,"— это преувеличение. Прикладные задачи в приличных учебниках бывают, хоть с этим и тяжело, а то, как пришли к их решению — вопрос не очень важный на математике, ибо скорее психологический.
XXV) "They’re equal for crying out loud,"— плохой пример. Дикую формулу со значением 2,5 надо туда дописать, чтобы он понял разницу?
XXVI) "“conjecture”… “counterexample”… sec x,"— в СССР секанса нет, контрпримеры и гипотезы упоминаются, хотя чётко понимать, что это такое, не слишком просто. С "доказательством"-то и так проблем немерянно.
XXVII) "and think they are doing their students a favor, when in fact to them it is just one more boring math problem to be gotten over with,"— ощущается резкий недостаток положительных примеров.
XXVIII) "higher-dimensional geometry or an abstract metric space,"— понятие абсолютной величины важно и удобно и в более "низких" областях.
XXIX) "Bertrand Russell’s recollection,"— да, эта (конкретно!) проблема не ушла, встречается и сейчас. Решается противными, сколь могу судить, автору методами: тупым натаскиванием на тупое раскрытие скобок.
XXX) "why do we allow them to write history papers or essays about Shakespeare?"— хорошо подмечено. Но аргумент в пользу автора только если считать идеальным преподавание языка и литературы.
XXXI) Излияния о нелюбви к формальным доказательствам и формальному подходу — я, кстати, только на четвёртом курсе понял, что это дело нужное. До этого как-то на уровне идей рассуждал, прокатывало. Считаю важной вехой в своём образовании.
XXXII) "is to make people doubt their own intuition,"— достойная цель, по-моему.
XXXIII) "when there is a crisis— when you discover that your imaginary objects behave in a counterintuitive way"— софизмы в геометрии вполне можно проходить в школе. Их и проходят.
XXXIV) "A proof should be an epiphany from the Gods,"— фу.
XXXV) "Isn’t that just delightful?"— так же можно без формул доказательство выше изложить. Или это доказательство записать строго со ссылками. Придумывать — одно, записывать — другое. Как-то с XXV перекликается: там он понял, что числа, типа, равны, только запись отличается, а тут выдаёт варианты записи доказательств за что-то крайне принципиальное.
XXXVI) "I’m not sure who was more proud, the student or myself. This is exactly the kind of experience I want my students to have."— такое ощущение, что ему не удалось это поставить на поток…
XXXVII) "They are then asked to mimic them in the exercises,"— так если дали упражнение, то их просят сделать обе вещи: придумать решение каким угодно способом, записать его стандартным способом. Он против того, чтобы учащиеся умели раскладывать свои доказательства по полочкам?
XXXIX) "they have no idea what they themselves are saying,"— некоторые считают мудрым: "Я знаю, что я ничего не знаю." Хотя ощущение понимания, низший уровень понимания по любимой мной градации (далее идёт умение изложить формально, третьим — умение разобраться с обобщениями: определить, работает ли то же доказательство и для них), легко достижимо и экстатично.
XL) "my definition, my theorem, my proof,"— конечно, в математике проще выдумать свои никому более ненужные и неинтересные объекты, написать их простые свойства и лопотать о красоте. Не актуальные же задачи решать!
XLI) "some free-form mathematical excursion, and the students will learn whatever they happen to learn? SALVIATI: Precisely,"— фигня какая. А зачем?
XLII) "At least that person would come away with some sort of an idea of what the subject is really about, and would get to see something beautiful,"— в ВУЗах очень рады будут, ага. В мат. кружках, где я работал, говорилось о цели "популяризации математической культуры", мои выпускники не только на мат.-мех. пошли, но это специально отобранные школьники и формализмом их помучили будь здоров.
XLIII) Издёвки над американской школьной программой — проблема в том, что шансы что-то сложное понять или доказать есть в основном у тех, кто может с идиотской улыбкой перемалывать эти всякие формальные штуки, щёлкать их как орешки и не обламываться, не уставать. А в его описании такие не упомянуты.
XLIV) "Exponential and logarithmic functions are also introduced in Algebra II, despite not being algebraic objects,"— по английскому широкому определению алгебры она занимается операциями и отношениями, а функции — операции. Учим мат. часть.

(Reply to this) (Parent)

(вчера интернет заглючил, это не результат особо долгих размышлений: сразу после предыдущего комментария)

Общий вывод:
1. Так как не совсем ясно, что же он предлагает, серьёзные выводы делать сложно.
2. Он указывает на некоторые проблемы обучения математике, с распространённостью которых я согласен. Но причины и способы разрешения этих проблем я из заметки извлечь не смог. Например, XXIV — известный мне эффективный метод решения противоречит духу заметки.
3. Он не указывает на достойные цели обучения математике. Зачем ради искусства одевать на себя оковы математики? Тем более, что это не окажется математикой, а скорее будет производителем софизмов, которые, имей они какое-нибудь значение, быстро приведут к, как он сам указывал, кризису и "арифметизации" (формализации).

Домыслы о том, из какой психушки он сбежал, если верить биографии и фантазировать на основе заметки:
Математическими способностями он обладает. Хочется романтики, потому что он понимает, что он "жалкий неудачник" (крах идеалов пару раз явно случался). Мудрое напишешь про образование — мало кто обратит внимание, а если не покажешь результатов, добытых лет как минимум за десять, то и правильно сделают, что не обратят внимания. Поэтому надо написать яркое и выпендрёжное. А главное — подальше от математики. С подменой понятий: людям математика скучна, так что согласимся и предложим рисование. Но для слепых дебилов: без набивания руки на рисовании геометрических фигур, лица и т.п. При этом он может быть вполне хорошим учителем, желать детям добра и добиваться результатов. И формализм сам не замечать, как им вбивает.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо.

На мой взгляд, он действительно очень разрушителен, хотя и критика отчасти правильная.

Как происходит добыча нового факта в математике:

1. Придумывается голая идея.
2. Делается доказательство на пальцах.
3. Проводится формализация доказательства и выпуск в свет.
4. Делается проверка.
5. Делается упрощение доказательства и популяризация.

В школе мы "изучаем" шаги 1-3 и возможно 4. И Локхард пишет о том, что нужно делать упор на 1-2. А формализацию - нафиг.

На мой же взгляд, нужно чётко разделять эти шаги - они слишком различаются. 1-2 - это именно та самая поэзия/исскуство, 3 - фактически автоматическая деятельность, но тоже необходимая в жизни.

(Reply to this) (Parent)

> Например, XXIV — известный мне эффективный метод решения противоречит духу заметки.

Какой?

Я почему за этого Локхарда зацепился - у меня сложилось такое ощущение, что из современных тов. учёных, любой вырос на популярных книжках вроде Перельмана. В них действительно изложение идёт по Локхарду, без формалистики.

Формалистика действительно обязательна, но она прикладная по сравнению со стержнем - исскуством.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(общий ответ)
Какой?
Я писал: тупо раскрывать скобки, нарешать кучу примеров. У аж десятиклассников видал, что (a+b)^2 и пр. им кажутся мистической формулой.

из современных тов. учёных, любой вырос на популярных книжках вроде Перельмана
Вырос не вырос, а у них научные школы и т.п. Научные школы вокруг того, что ты обозначил пунктами 1 и 2: решили, что какой-то класс методов подходит для решения какого-то класса задач, создали кафедру или лабораторию т.п.
А "локальные" открытия фактов укладываются в "глобальный" пункт 3.
До "глобальных" пунктов 4 и 5 доходит далеко не всё, даже если результатов много наполучали.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Извини, но по-поводу "научные школы вокруг" ты не прав. Я работаю не совсем в математике, но очень близко. И знаю, как появляются статьи в теорфизике. Это идея, потом некоторое вычисление, затем результат.

Если бы я работал в математике, я действовал бы похоже, последовательно. И это общая методология, независимая от научной школы. Общая методология для науки.

И пункты 1, 2 приходится проходить вне зависимости от масштаба задачи, которой занят. От доказательства 0*х = 0, до в.т.Ферма. Но проходятся эти пункты зачастую в мозгу одного человека, ещё до обмена с сообществом.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не отрицаю наличия идей и т.п. Просто у тех, кто не натаскан, фильтрация идей плохая. Путаница возникает, когда, например, профессионал на пальцах "объясняет" идею, скажем, водителю. Понимание и радость общения могут быть, если слова звучат красиво, аналогии тоже найдутся, но это бесконечно далеко от разумной деятельности.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я не отрицаю наличия идей и т.п. Просто у тех, кто не натаскан, фильтрация идей плохая.

Натасканность по-определению, это узкая специализация. Я, к примеру, когда планировал поступать в 470-ку, очень серьёзно натаскивался на упрощение квадратичных и кубических иррациональностей.

Не скажу, что это мне сильно впоследствии помогало решать олимпиадные задачи.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Решению олимпиадных задач помогает натасканность на решение олимпиадных задач, это если кроме природных данных. Чтобы та же самая фильтрация идей была быстрой: "Ага, вряд ли подойдёт индукция, поищем полуинвариант,"— в таком духе (это в средних классах).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Решению олимпиадных задач помогает натасканность на решение олимпиадных задач

Это да, ты ведь наверняка тоже знаешь людей (не лично), на эти самые задачи натаскивающих в СПб. :-)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Может и лично. И меня в кружки звали ребёнком, и сам я натаскивал (очень умеренно), и на сборы посылал, чтобы другие школьника натаскивали (всё-таки телефонное общение), и с некоторыми коллегами в конкурирующих организациях всё-таки общался.

Последние года четыре не слежу, конечно.

Городская олимпиада сильно деградировала (когда я получил второй диплом в десятом классе, первых, кажется, не давали, а количество задач было каким-то маленьким — если память не шутит со мной, то для вполне приличного потока это означает плохую работу жюри; с годами только хуже становилось, насколько я помню), так что я неохотно считал натаскивание на олимпиады важным.

(Reply to this) (Parent)

А какие достижения на олимпиадах по математике в итоге-то?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Хреновые - почётные грамоты.

(Reply to this) (Parent)

> Он не указывает на достойные цели обучения математике. Зачем ради искусства одевать на себя оковы математики?

Какие оковы?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, зарядить себе клизмой краску и расплескать на холст — искусство, как считается, но явно не математика.
А искусство по Локхарду, по-моему, преимущественно такого рода. Он же явно игнорирует набивание руки музыкантами да художниками.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, основная идея в том, что в математике оков нет. Я неоднократно встречал высказывание, что определить предмет математики нельзя - это почти всё, чем занимаются математики :-).

Это в физике, в биологии есть ограничения. А в математике есть наоборот нечто шизоидное - люди придумывают миры, совершенно непохожие на наш, устанавливают свои правила-оковы и исследуют эти миры. Единственное ограничение - абсолютная рациональность. Ну иначе совсем шизофрения получается :-).

И чем проще изначальные условия такого математического мира и чем он более разнообразен, тем круче математик, его придумавший :-). Вот, возьми теорию групп или топологию - это натурально полёт фантазии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Математика просто не является наукой. Но оков у неё полно.

Единственное ограничение - абсолютная рациональность.
Внутренняя целостность скорее: если установил правило, то, не отменив его, нарушить не можешь.

Вот, возьми теорию групп или топологию - это натурально полёт фантазии.
Не замечал.
Большой монстр, например,— это засада, а не полёт фантазии. http://ru.wikipedia.org/wiki/Классификация_простых_конечных_групп
Прикладная теория групп или доказательства интересных теорем требуют дикой сосредоточенности и могут быть ужасно однообразными. Чтобы хоть как-то почувствовать этот "полёт фантазии", надо свыкнуться с тем, что ты можешь с удовольствием фигачить и фигачить длинные сложные формулы.
По отношению к школьному образованию не до полёта фантазии… Хотя интересного и простого хватает, конечно, для вполне приличных курсов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Математика просто не является наукой.

Если не заниматься Попперовским онанизмом, а пользоваться общеупотребительными терминами, то является (я только что посмотрел в БЭС и БСЭ).

> Чтобы хоть как-то почувствовать этот "полёт фантазии", надо свыкнуться с тем, что ты можешь с удовольствием фигачить и фигачить длинные сложные формулы.

Да нет, конечно. Нужно несколько свыкнуться с правилами манипулирования объектами. Вот скажи мне, какие жуткие манипуляции с формулами нужны для осознания того, что сферич. гармоники - это базисные функции неприводимых представлений группы вращений? Да никаких.

А задачи про спички, козу и капусту и т.д.? Там вообще формул нет - удобнее совершенно другой тип записи. А тем не менее, это математика.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(я только что посмотрел в БЭС и БСЭ).
"наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира"— не могу согласиться с этим определением.
Ты выше писал: "А в математике есть наоборот нечто шизоидное - люди придумывают миры, совершенно непохожие на наш,"— я так понимаю, что ты тоже с ним не должен соглашаться.

Нужно несколько свыкнуться с правилами манипулирования объектами.
свыкнуться с тем, что ты можешь с удовольствием фигачить и фигачить длинные сложные формулы
Я именно это и имел в виду.

какие жуткие манипуляции с формулами нужны для осознания того, что сферич. гармоники - это базисные функции неприводимых представлений группы вращений?
Давай спросим у случайных восьмиклассников из случайных школ, раз уж мы о школьном образовании?

А задачи про спички, козу и капусту и т.д.? Там вообще формул нет - удобнее совершенно другой тип записи. А тем не менее, это математика.
Согласен. Это важные и полезные задачи. Локхард на этом внимания не заострял.
Формулы появляются при усложнении задач. Как и в задачах о рыцарях и лжецах: поначалу решаешь в уме, потом что-то пишешь словами, потом либо не решаешь, либо какие-то таблицы рисуешь если не хуже.
Я утверждаю, что многими уже школьными теориями на практике не воспользоваться без натаскивания, а значит и для изучения основой является натаскивание.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> что ты можешь с удовольствием фигачить и фигачить длинные сложные формулы

Нет, я не могу с удовольствием фигачить формулы. Наоборот, я считаю это довольно занудным делом. Вот понять, как берётся нетривиальный интеграл интересно, а делать муторные алгебраические преобразования - нет.

> Формулы появляются при усложнении задач.

Но это не обязательно вещественные числа, не обязательно алгебраические формулы! Это может быть геометрия или ещё что.

Даже в алгебраическом случае можно иногда решать задачи геометрически. Классический пример - сумма ряда (0.5)^n.

> Я утверждаю, что многими уже школьными теориями на практике не воспользоваться без натаскивания, а значит и для изучения основой является натаскивание.

Вот главная точка преткновения - я не считаю, что основа - натаскивание. Натаскивание - это необходимая штука, но не основная, так, для лучшего запоминания.

А основная - это обучение пониманию структур, взаимосвязей, так чтобы человек мог сам что-то доказывать. Пусть, не очень строго.

Для этого, само собой, ему нужен некоторый базис. Однако этот базис - не формалистика.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Наоборот, я считаю это довольно занудным делом.
Кто ж не считает. Но почему-то когда увлечённо занимаются чем-то "незанудным", листочки с выкладками плодятся.

Даже в алгебраическом случае можно иногда решать задачи геометрически.
Я целую книжку читал о том, как упростить усвоение курса линейной алгебры за счёт геометрии. Кто ж спорит.
Но если человек не владеет геометрией, если он не натаскан на опознание софизмов (Локхард пишет о контрпримерах, я на уроках изучал со школьниками примеры из книжки "Контрпримеры в анализе", сам школьником изучал софизмы: это может быть похоже на игру, но игру против интуиции и фантазии, игру по заковыванию себя и натаскиванию), то это ему вряд ли поможет.

это необходимая штука, но не основная
Ну, если есть согласие, что необходимая, то порядок. А вот "понимание структур, взаимосвязей, так чтобы человек мог сам что-то доказывать" — это не необходимое. Потому что необходимый минимум относится к математике-науке, которая о действительном мире, и надо хотя бы формулы уметь применять для общепринятых математических моделей реального мира.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я целую книжку читал о том, как упростить усвоение курса линейной алгебры за счёт геометрии.

Какую?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это не особо важно. Я тогда даже педагогом не был: дома валялась, вот и почитал: Артин Э. Геометрическая алгебра Наука 1969. Легко находится в интернете.

Кстати, у Рыжика на первый взгляд — обычные педагогические рассуждения, которые интересны деталями, но типичны. То есть: это я хорошо отозвался. Например, в "Науке и жизни", кажется, он ЕГЭ ругал — мне очень не понравилось.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо.

Т.е. типична ругань "логического" подхода и призывы на переход к "историческому"?

Мне кажется, что Локхард и Рыжик серьёзно перекликаются. С другой стороны, Рыжик очень сильно драл уши за формалистику - "грязный" рисунок и орфографические ошибки. По крайней мере, с 5 можно было легко попасть на 4.

С третьей стороны, у него курс состоял из задач. А задачи были интересные и разные. Т.е. метода преподавания такая - дома читаем параграф, обязательно несколько раз, затем в классе вопросы по нему и решения задач у доски (по домашним)/в классе (новые). Иногда проверочные.

Рассказать задачу у доски - привилегия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Почему "логический" подход работает хреново, в общем-то понятно - наши мозги прекрасно воспринимают информацию, когда она специальным образом ассоциирована. Когда есть много чётких связей, много побочной доп. информации, желательно эмоциональной.

А вот беспорядочный набор информации или логически сухой запомнить тяжело.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Для чего работают?

И не лучше ли "исторический" подход делать с выдуманной "историей", например? И чем он тогда будет отличаться от "логического"?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Для чего работают?

Для запоминания.

> И чем он тогда будет отличаться от "логического"?

Постановкой проблем, решая которые, ученики должны частично формулировать сами правила общения с объектами. Т.е. учитель должен не выдавать решение сразу, а заставлять его найти, естественно, подправляя направление мысли ученика. Это у Рыжика скрыто, но это тем не менее, подразумевается под "историческим подходом" - см. вопросы ученику курсивом.

И это как раз полностью совпадает с Локхардом, который как раз и упирает на то, что оригинальные задачи у учеников отбираются, а вместо этого им даются уже составленные алгоритмы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

полностью совпадает с Локхардом
Локхард крайне неконкретен, с ним если и может что-то пересекаться, то не "совпадать", тем более "полностью".

а вместо этого им даются уже составленные алгоритмы
Уточню. Настоящая история, по-моему, никого не волнует в этих вопросах.
Можно давать разные упражнения и при "логическом" подходе, так что по сути будут повторены преимущества "исторического" подхода. Это вопрос наличия времени, важности "понимания", интереса учеников и т.п. Это вопрос педагогических изысков. И Рыжик в заметке стремится к мифическому "пониманию", а не запоминанию.

должен не выдавать решение сразу, а заставлять его найти, естественно, подправляя направление мысли ученика
Это да, только это не особенность Рыжика или Локхарда: упражнения дают практически везде.
Когда доказательств теорем не изучают вообще (а у меня и на мат.-мехе была пара случаев, когда пользовались теоремами, которые никогда не доказывали: ни на этом, ни на базовых курсах), то упражнения носят один характер.
Когда изучают доказательства теорем, когда готовят математиков, то, например, натаскивают уже не на работу с комплексными числами, а на доказательство теорем. Тогда и упражнения другие. И они быстро перестают быть оригинальными, даже если когда-то были такими.

Если есть время и пр., то Рыжик может изучать историю и развитие науки на примере комплексных чисел, упирая на важность "сути" каких-то понятий для чего-то важного только для тех, кто не только в школе будет математику изучать ("забывая" о треугольниках, когда изучается тригонометрия).
Но время есть не у всех. Время обычно есть в спец. школах, куда не всех берут.

что оригинальные задачи у учеников отбираются
Локхард показывает, что ему важна не оригинальность самих упражнений (см. задачу про прямоугольность вписанного треугольника со стороной-диаметром), а какая-то "свобода" изложения. Цель-то у него — искусство, а не "понимание" или "запоминание".

К моей позиции…
Про "понимание" — с продвинутыми школьниками, которые легко натаскиваются на обращение с новыми объектами, можно больше работать над "пониманием": связями с другими областями математики, историей и т.п. Я скорее вижу в этом не самоцель, а попытку усиления мотивированности занятиями математикой.
Про "искусство" — то же самое.

И то, и другое не имеют значения, если школьники не могут оперировать изучаемыми математическими объектами. "Понимание" становится "пониманием" устройства бластеров в фантастическом произведении, а в "искусстве" появляются оковы, но какие-то рыхлые и непостоянные.

И попытка ставить во главу "понимание" при снижении уровня школьников сразу приводит к проблемам, например, с устными экзаменами. В некоторых известных мне случаях экзамен фактически проводили письменно, задавая лишь вопросы в духе: "Что обозначает эта буква?"— для того, чтобы убедиться, что это не бездумно переписанный откуда-то текст.

При повышении уровня школьников (или оторванности от жизни не слишком глупого учителя) та же программа, конечно, может начинать казаться более тупой. Возможно, это приведёт и к "пониманию", и к "искусству", если часов хватает. Но только в этих темах, которые легко доступны (то есть: они почти сходу научились оперировать изучаемыми объектами) этим школьникам, а не во всех подряд.

(Reply to this) (Parent)

Т.е. типична ругань "логического" подхода и призывы на переход к "историческому"?
Конечно. Это же педагогика: надо, чтобы учащиеся усвоили материал, получили "понимание", чтобы это ни значило. Локхард не об этом пишет. А Рыжик нормально пишет заметку о педагогике, причём касательно вполне определённых тенденций, условий, а не вообще. И не о математике самой по себе.

Проблемы выглядят знакомо, я потому написал о типичности.

Рыжик пишет скорее о продвинутых учениках, так что даже если он чем-то может быть похожим на Локхарда, моё недовольство Локхардом прямо на него не перенести.
Даже только одна эта фраза: "Я заметил, что проблема понимания для «продвинутых» учеников не менее остра, чем в массовой школе, хотя и другого характера,"— лишает меня возможностей проводить параллели с Локхардом.

a*b**i
Я в этом смысле больше люблю интуитивное понимание и непонимание "бесконечных сумм". Тем более, что сам специализировался на локальных полях.

От того, что ученики прорешают, к примеру, десятки уравнений про синус и косинус ничуть не углубится их понимание тригонометрических функций. Другое дело—периодические процессы, гармонические колебания, я уже не говорю о ряде Фурье.
Честно говоря, до решения уравнений мат. физики я особой потребности в алгебраической тригонометрии (с преобразованиями и кучей формул) не испытывал. Но Рыжик лукавит: о том, что он считает "пониманием" тригонометрических функций, можно только догадываться. Полагаю, что он схожие с моими потребности имеет в виду. Это не для всех подряд школьников.

В них принят онтодидактический подход.
Не совсем по теме он это заметил. Иначе сразу же изучали бы комплексные числа, а остальные называли бы частными случаями.

здесь я нашел поддержку у Поппера
Несмотря на твоё предположение, я Попперя люто ненавижу. Читал и очень не понравилось (про "Открытое общество" и какой-то бред про теорию относительности: полагаю, что то, что вошло в курс философии, разумнее, но я ему доверять не могу).

Но ведь в школьном курсе математики делается не так, а потому теория комплексных чисел как пар вещественных валится на головы учеников как снег среди ясного неба.
Потому что надо быть весьма продвинутыми школьниками, чтобы одолеть скрупулёзные построения всего от натуральных чисел. Для мат. кружков-то это не редкость.
Но "концентрический" метод в школе остаётся: сложение натуральных чисел изучают раньше сложения комплексных.

Очищенный от случайного, генетический подход погружает ученика в процесс поиска истины, формирующий понимание. (Известно—именно такой подход и есть логический.)
А-А-А!!! Говорить о понимании "понимания" не приходится: партизан Рыжик своего понимания "понимания" не выдаст, уязвлённые вольным обращением с этим словом других ("И абсолютно неясно, что стоит за оборотом: «ученик должен понимать», уже встретившимся в проектах нормативных документов.").

И вот тут-то нашей прыти действовать по аналогии заметно поубавится.
Да, это важный момент. Потому хитрые педагоги и лишают людей понимания ради обучения тому, понимание чего сложно: называют не бяками и люди готовы верить, что что-то понимают.
Некоторые граждане не замечают (или делают вид, что не замечают) компромисса и в довесок требуют "понимания".

В "Проблемной ситуации №7" я уже перестал "понимать" суть заметки и не могу с ней согласиться.

"Если сделать хотя бы это (а есть еще много чего интересного), то можно рассчитывать на куда более полное их понимание"
Среди продвинутых мат. школьников.

Именно ввиду «характерности и мучительности» я полагаю необходимым изучение комплексных чисел в средней школе, причем не только в математической, но и во всякой прочей, а особенно в гуманитарной (в последней—хотя бы знакомство с ними).
И где аргументация? Почему не ограничиться целыми числами как развитием натуральных (для натуральных ab>=a, для целых не обязательно)? Гуманитарная-то школа причём тут?

Статья оказалась слабее, чем мне показалось. Связи с Локхардом не вижу совсем.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Проблемы выглядят знакомо, я потому написал о типичности.

Можешь ли ещё подкинуть литературы на эту тему?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Нескоро: сейчас не до того (хотя и нашёл немало времени прочитать заметки и переписываться…).

Типичность Рыжика на первый мой взгляд — он напомнил семинар по педагогике (и нестандартному анализу; я делал доклад по случайной книжке, она скорее про преподавание для тупых была, там много тонкостей понимания рассматривалось) и рассусоливания преподавателя экстремальных задач (про "глубину" в классической теории вероятностей: какие примеры не надо приводить [тоже тупым студентам], чтобы не делали безумных обобщений).

Систематического педагогического образования я так и не получил (курс собственно педагогики был бредом), а пока работал учителем читал доступные на паре полок с методической литературой (почти всё по математике) книжки, и этой возможности более не имею.

Тему правильного понимания в смысле маловероятности шальных нелепых обобщений я и сам считаю важной, а достаточно конкретные заметки будут полны примеров, чем-то похожих на начало статьи Рыжика.

Сейчас в интернете не нашёл особо интересного из того, что сам раньше читал. Ну, то есть, можно много что читать, и Фройденталя (на "колхозе" есть), например: интересно пишет местами и полемично.

Хотелось бы подытожить так: не исключено, что при сравнении нескольких курсов в деталях, и я, и (ну, гипотетические скорее) Рыжик, и Локхард предпочли бы один и тот же. Причём я бы сказал, что он более сосредоточен на натаскивании, Рыжик — что способствует "пониманию", а Локхард — что подаёт математику как "искусство". А курс не подошёл бы, ибо учащиеся оказались бы не такими, как ожидалось.

(Reply to this) (Parent)

> требуют дикой сосредоточенности и могут быть ужасно однообразными.

Ну это при занятии проф. деятельностью. Опять-таки, дикая сосредоточенность - это прекрасно, а однообразие обычно идёт из-за излишней формализации на начальном этапе док-ва.

Я не знаю, как у тебя, а у меня на лекциях по матану любимым развлечением было "предугадывание" лектора. Поскольку он тормозил, док-ва 3/4 теорем я вписывал в тетрадь раньше, чем он напишет на доске. Доказательства там довольно простые.

Но вот при разработке доказательства я совершенно не рассуждал так формально, как потом было записано в тетради. Наоборот, делалась аналогия или какое-то визуальное представление объектов, а уж потом шла формализация.

А если начинать сразу с формализации, то нихрена бы не вышло. Или вышло с совершенно другими трудозатратами.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

а однообразие обычно идёт из-за излишней формализации на начальном этапе док-ва
Пример: расписывание группы преобразований кубика Рубика.

Я не знаю, как у тебя, а у меня на лекциях по матану любимым развлечением было "предугадывание" лектора. Поскольку он тормозил, док-ва 3/4 теорем я вписывал в тетрадь раньше, чем он напишет на доске. Доказательства там довольно простые.
Я на лекции плохо ходил. На каких-то лекциях такие развлечения были.

я совершенно не рассуждал так формально, как потом было записано в тетради. Наоборот, делалась аналогия или какое-то визуальное представление объектов, а уж потом шла формализация
Ну, если ты систематически тратил на занятия тормозными лекциями время, да ещё и старался, то неудивительно, что натаскался в этой области достаточно, чтобы пользоваться аналогиями и воображением.

А если начинать сразу с формализации, то нихрена бы не вышло. Или вышло с совершенно другими трудозатратами.
Я Локхарда понял так, что, проводя аналогию с тобой, он ожидает аналогий, воображения и "вписывания в тетрадь раньше" вместо хождения на "тормозные лекции".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Пример: расписывание группы преобразований кубика Рубика.

Это отдельная задача на любителя. Тем более, что сейчас можно сделать программу, выписывающую все эти преобразования и таблицу умножения.

> На каких-то лекциях такие развлечения были.

ОК.

> Ну, если ты систематически тратил на занятия тормозными лекциями время, да ещё и старался, то неудивительно, что натаскался в этой области достаточно, чтобы пользоваться аналогиями и воображением.

Я бы не сказал, что аналогия деревянной линейкой с распушёнными концами интервала, а железной линейкой - отрезка в лемме "О покрытии отрезка интервалами" это что-то требующее серьёзных хождений на лекции. :-)

> Я Локхарда понял так, что, проводя аналогию с тобой, он ожидает аналогий, воображения и "вписывания в тетрадь раньше" вместо хождения на "тормозные лекции".

Локхард - радикал, поэтому, естественно, он не прав. Но, в действительности, мне кажется, познание математики без самостоятельного доказательства теорем и фактов невозможно.

А лекции нужны - ведь доказать теорему фигня, вот её придумать, сформулировать, это действительно сложно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Но, в действительности, мне кажется, познание математики без самостоятельного доказательства теорем и фактов невозможно.
Чтобы стать математиком (но не, например, инженером или программистом) — ясное дело. Но к обычному школьному образованию это имеет сложное отношение.

ведь доказать теорему фигня, вот её придумать, сформулировать, это действительно сложно.
Нерешённых важных проблем куча. В одной теории чисел их уже немерянно. Хватает и тех, за которые награды объявлены. Но где батальоны Перельманов-Уайлсов?
Концепция развития математики сейчас (ну, сужу скорее по профессорским байкам: сам-то я что об этом могу знать…), по-моему, слишком "Локхардовская": доказывать не то, что нужно, а то, что легче. И придумывать тогда (то, что будет легко доказывать, да и чтобы солидно выглядело) — да, самое важное.

Я бы не сказал, что аналогия деревянной линейкой…
Может быть, мы не слишком конкретно обсуждаем теоремы.
У меня идеологическое восприятие померкло только курсу к четвёртому. До этого хватало натасканности и способностей перемалывать формулы, чтобы я этой натасканности особо не замечал.

Это отдельная задача на любителя.
Это достаточно типичная, хоть и сложная, прикладная задача на теорию групп. Возня с порождающими соотношениями, перечисление смежных классов и т.п. — типичная прикладная деятельность. Конечно, компьютеры для этого можно нынче использовать, есть и спец. пакеты, но я не пользовался.
А какие ещё тебе в голову приходят задачи на теорию групп?
В топологии прикладное что-нибудь тоже вполне может свестись к муторной возне с какими-нибудь группами.
Фантазия и воображение, конечно, пригодятся для понимания, с какой группой имеешь дело, но сосредоточенность будет также необходима.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Но к обычному школьному образованию это имеет сложное отношение.

Ну, примерно в этом и состоит главный вопрос - какая цель в результате?

> Концепция развития математики сейчас (ну, сужу скорее по профессорским байкам: сам-то я что об этом могу знать…), по-моему, слишком "Локхардовская": доказывать не то, что нужно, а то, что легче.

Если в этом нет идиотизма, то подход очень правильный. Ибо чаще всего нужно целиком истоптать окружающие сложную проблему вопросы, чтобы потом можно было решить саму проблему. В общем, без чёткого понимания того, что происходит, я не готов впрягаться в критику.

> Может быть, мы не слишком конкретно обсуждаем теоремы.

Да не сказал бы. Я просто другие теоремы не помню, как доказывал. Но вот бурбакийской последовательности символов никогда не использовал. У нас мозги не так работают, как Бурбаки определяют математику.

> А какие ещё тебе в голову приходят задачи на теорию групп?

Меня, честно говоря, больше всего интересует ТГ в применении к квантам. В частности, я совершенно не могу запомнить все эти адские "разрешённые" и "запрещённые" переходы без ТГ. Или вопрос о спине.

А если я держу в голове дерево ТГ со связями, всё становится элементарно и, главное, запоминаемо. И эти жуткие Клебш-Горданы, которые для многих физиков - вещь в себе, становятся понятны. И вообще, картина мира становится более цельной.

И для этого не нужно никаких формул - максимум 2 леммы Шура. То, что я держу в голове - это более-менее абстрактные "ортогональности", "представления" и т.д. Я даже закон умножения матриц могу забыть и ничего не сломать :-).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ибо чаще всего нужно целиком истоптать окружающие сложную проблему вопросы, чтобы потом можно было решить саму проблему.
Это противопоставляется "истаптыванию целиком": сложные места не истаптываются, а обходятся. В итоге вытоптанной поляны, чтобы фундамент поставить, нет, только масса лесных тропинок, по которым кто-то убежал на много километров и забыл, с чего всё начиналось и зачем.

Ну, примерно в этом и состоит главный вопрос - какая цель в результате?
Это большая тема. Элементарные логические рассуждения и умение подставлять в формулы — это, видимо, необходимо. Какое-то представление о математике-науке (в узком смысле).

Я просто другие теоремы не помню, как доказывал.
Я вспоминаю теоремы из весьма формальной аксиоматической теории множеств.

И вообще, картина мира становится более цельной.
Да, это очень далеко от общеобразовательной школы.

(Reply to this) (Parent)