| Листок: вложение Менгера-Небелинга-Понтрягина |
[Aug. 26th, 2020|07:33 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  sleepy | ] |
| [ | Current Music |
| | Nick Drake - Pink Moon | ] |
https://ium.mccme.ru/postscript/s18/analiz2-list5-3-18.pdf
Прорешал за последнею пару дней этот листочек, который не решил в свое время. Помню, что как раз в том году болел ковидом и сил было очень мало. Поэтому необязательные листочки я не решал. И вообщев то время сделал крайне мало.
Тем не меняя очень хотел вернуться и все прорешать. И сам листок довольно понятный и хороший. Так как сейчас сдавать его поздно, приведу ниже в сокращенном виде свои идеи по каждой задаче. Если хотите, можно их обсудить.
1) Если бы размерность отрезка была 0, то его можно было бы покрыть набором маленьких открытых интервалов, объедение которых бы несвязным. Но интервал связный, противоречие. Понятно, что если покрывать отрезок открытыми интервалами последовательно с достаточным отступом между центрами, то получим размерность 1.
2) Строго говоря это утверждения не верно, так как можно взять константу, и ее образ будет иметь размерность 0. В любом другом случае возьмем две различные точки и сделаем тоже, что мы делали с отрезком. Что размерность должна быть 1 неверно, так как можно взять кривую Пеано.
3) Можно взять какой-нибудь не-планарный Эйлеров граф, например $K_5$ (пентаграмма). Вложим его в $\mathbb{R}^3$ так чтобы все вершины были на разной 'высоте'. Тогда ребра графа образует ломанную, и пересечения будут только в вершинах графа . Если непрерывно отобразить эту ломанную в $\mathbb{R}^2$, то должны образоваться пересечения, иначе $K_5$ был бы планарным. Получается, что отображение не может быть гомеоморфным вложением.
4) Покажем, что вокруг каждой эпсилон-функции есть равномерный шарик эпсилон-функций. Заметим, что множество пар точек, расположенных нестрого дальше эпсилона, компактно. Тогда на нем можно найти минимальную $\delta = min_{(x,y)} | f(x) - f(y) | $. Причем из определения эпсилон-функции это число не равно 0. Возьмем произвольную функцию и равномерного шара радиуса $\delta$. Если в паре точек значения этой функции равно, то из неравенства треугольника значения в этих точках у эпсилон-функции отличается меньше чем на дельту. А значит эти точки были расположены достаточно близко, чтобы считать, что мы достали эпсилон-функцию
5) Множество непрерывных функций с равномерной топологией полно, а значит для него выполняется теорема Бэра. Поэтому если множества всюду плотные и открытые то их пересечение будет плотным. Так как константы непрерывны, то множество непрерывных функций не пусто. А значит его плотное подмножество тоже не пусто. Это плотное подмножество есть множество инъективных функций. Так как область определение компактно, а действительное аффинное пространство Хаусдорфово, то эти отображения будут открытыми. А значит они будут гомеоморфными вложениям.
6) Возьмем образы изначального набора точек. Для них выполняется первое свойство. Если эти точки слиплись, то их можно разнести, так что это свойство все еще выполняется. будем итеративно 'обновлять' этот набор точек и следить за множеством натянутых на подмножества этого набора точек аффинных пространств, где точек слишком много (второе условие не выполняется). заметим, что это множество подпространств конечно. На каждом шаге будем брать какое-нибудь такое подпространство и какую нибудь точку в нем, а потом двигать ее так, чтобы первое условие не нарушалось, а новая точка не попадала ни в какие натянутые подпространства, где не было старой. Число лишних точек в натянутых подпространствах будет уменьшаться и процесс должен закончится за конечное число шагов.
7) Расстояние до замкнутого множества непрерывно. (Прообраз полуоткрытых интервалов получается как объедение шаров с центрами в точках этого множества, замкнутые также (можно использовать компактность), а дальше все выражается)
8) произведение и композиция непрерывных отображений непрерывно. Нормировать отображение всегда можно, так как имеем дело с покрытием. Из условия на изначальную последовательность, неравенства треугольника, первого свойства последовательности Понтрягина и этой нормировки получается условие на расстояние.
9) Пусть значения отображения равны в двух точках. Каждая из этих двух точек содержится в не более чем $d + 1$ шарике покрытия. Каждому этому шарику сопоставляются точки в аффинном пространстве. Значения этого отображения выражается как две разные аффинные комбинации этих точек. Выразим какую-нибудь точку как аффинную комбинацию остальных. Из условия на покрытие следует, что эта точка лежит в собственном аффинном подпространстве натянутом на остальные. А значит из условия (2) на последовательность Понтрягина у нас есть повторения, то есть две точки лежат в каком-то одном шарике, а значит они близко. |
|
|
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}
