Главная идея тут в том, что открытые множества — это полуразрешимые утверждения. Это значит, что если элемент лежит в открытом множестве, то это можно подтвердить за конечное число вычислений, но если он не принадлежит этому открытому множеству то необязательно это можно опровергнуть за конечное число вычислений. Например, возьмем открытый интервал (0, 1) и число с десятичной записью 0.(9). Тогда, прочтя только конечное число цифр нельзя сделать вывод о принадлежности этого числа интервала. С другой стороны, у любого числа в интервале (0,1) будет десятичная запись с нулевой целой частью, и хотя бы одно не-девяткой дальше. Открытозамкнутые множества — это соответственно разрешимые (вычислимые) утверждения. Важность пространств Стоуна проистекает из того, что их топологии полностью порождены открыто замкнутыми множествами, то есть любое полурарзрешимое утверждение приближается разрешимыми снизу.

Викерс замечает, что для торологии естественными являются не все логические операции, а только конечные конъюнкции и произвольные дизъюнкции. Он называют такую логику логикой конечных (эмперических) наблюдений. При этом можно выделить афирмативные и рефьютативные высказывания. Афирмативные высказывания это ровно те утверждения, которые можно подтвердить за конечное время тогда ил только тогда, когда они верны. То есть это открытые множества. А рефьютативные — это соответственно замкнутые. В этом месте Викерс ссылается на Карла Поппера, который утверждал, что любая теория, чтобы быть научной, должна быть рефьютативной. Вот так мы нашли мостик между функциональным программированием и философией науки Карла Поппера. А еще это мостик к теории топосов! Потому что эта логика называется пропозиционной геометрической логики, и это часть геометрической логики первого порядка, логики топосов!

Главный модельный пример в этой книге это логика потоков битов. Эта логика порождается утверждениями типа в потоке не менее «n битов и бит номер n имеет значение 0» или «n битов и бит номер n имеет значение 0». В итоге получается топология множества последовательностей нулей и единиц, возможно пустых, возможно счетно-бесконечных. Там есть естественный порядок типа «продолжает». Эта конструкция называется Системой Кана или пространством Кана.

Кстати, Викерс активно использует бессмысленную, бесточечную топологию. Но чтобы сбалансировать точечный и бесточечный взгляд, Викерс вводит новую структуру, которую называет топологической системой. Топологическая система состоит из множества точек, моделей или программ, фрейма (пропозиционной геометрической логики) формальных открытых элементов, наблюдений, измерений или теорий, и бинарного отношения между ними типа «возможно при наблюдении» или " моделирует теорию» с аксиомами похожими на аксиомы топологии. В случае обычных топологических пространств, это бинарное отношение соответствует принадлежности точки множеству. Но, например, для топологии Кана, вместо потомков битов в качестве обобщенных точек можно брать программы, которые их выводят. Тогда существуют различные программы, которые выводят одинаковые последовательности бит.

Для формальных точек топологической системы можно ввести предпорядок, который называется порядком специализации. Одна точка является специализацией другой точки, если эта точка возможна при любом наблюдении, при котором возможна первая точка. В системе Кана это ровным счетом и есть отношение «продолжает». Этот предпорядок будет частичным порядком если выполняется аксиома отделимости Т0. Но хаусдорффовых систем порядок специализации всегда тривиальный. Поэтому далее Викерс концентрируется на не-хаусдорфовых системах с отделимостью Т0. Для упорядоченного множества можно ввести топологию Скотта, состоящая из замкнутых вверх множеств, недостижимых для направленных объединений. Встает вопрос: в каких топологических системах топология скота отношения специализации соответствует исходной? Вначале Викерс определяет когерентные системы, как системы, топология в которых порождена компактными открытыми множествами. Это то же самое, что фреймы в алгебраической презентации которых нет бесконечных дизъюнкций. Или что топология устроена как множество идеалов дистрибьютивной решетки. Алгебраическими называются когерентные топологические системы, в которых любой компактный открытый представляется как конечное произведение ко-простых компактных открытых. Алгебраические топологические системы — это именно те системы, топология которых — топология Скотта порядка специализации их точек. То, есть для таких структур нет разницы думать о них как о топологических пространствах или как об упорядоченных пространствах. Мне не очень нравится термин «алгебраический», кажется, что лучше было бы называть такие системы атомарными или целостными. Понятно, что все бесконечные пространства геометрии и анализы не будут алгебраическими в этом смысле. Но алгебраической будет, например, система Кана.

Эти особые алгебраические системы являются предметом теории доменов. Теория доменов пытается найти методы формального анализа компьютерных программ, основанных на моделировании пространства компьютерных программ как топологического пространства. Основная идея в том, чтобы смоделировать это пространство как такое компактное топологическое пространство, что множество его автоморфизмов с открыто-замкнутой топологией вкладывается в него самого. На первый взгляд звучит весьма дико. Но, опять рассмотрим систему Кана. Ее автоморфизмы будут вычислимыми функциями, и можно представить, что каждая из них задается программой, которая в свою очередь записывается как конечная последовательность бит и так вкладывается в пространство Кана. И, наверное, это будет непрерывно. У этого есть несколько следствий. Во первых благодаря компактности у каждой программы будет неподвижная точка. Это ведет к идеи комбинаторов в функциональном программировании. То есть, если и не сама эта книга, то связанное с ней направление мысли повлияло на современные функциональные языки программирования типа Хаскелла и Раста. Во вторых значит, что программы могут принимать на вход другие программы и выдавать другие программы. В целом я не очень глубоко углублялся в эту тему. Викерс идет тут намного глубже и обсуждает домены множеств, что имеет определенное сродство с идеей пространства компактных подмножеств с метрикой Хаусдорффа в обычной топологии. Нужно сказать, что после выхода этой книги теория доменов активно развивалась. Появилась синтетическая теория доменов, которая активно использует теорию топосов.

В последней главе Викерс обсуждает связи с абстрактной алгеброй. Это не просто так, потому что спектральные пространства алгебраической геометрии обычно тоже когерентные и не Хаусдорфовы. Есть теорема Хохстера о том, что любое компактное когерентное пространство является спектром коммутативного кольца. И мы встречаем обычные определения спектров Зарисского и Пирса. Мы уже видели, что эти пространства будут когерентными и компактными. И любое когерентное компактное пространство будет спектром Зарисского какого-то коммутативного кольца. Интересно, когда спектр Зарисского будет алгебраическим в вышеприведенном смысле. Интересно, когда спектра Зарисского будет алгебраическим в приведенным выше смысле? Наверное, если кольцо является Артиновым. Но Викерс идет дальше, и рассказывает про матричный спектр Конна для некоммутативного кольца. Я так понял проблема с этим спектром в том, что он не функтореален. И там нельзя также легко перейти от некоммутативных колец к окольцованным пространствам. Но в целом я не очень понимаю зачем Викерса про это пишет после теории доменов?

> 1. Ваше мнение по поводу гипотезы Тегмарка о математической реальности. 2. Вы как-то говорили о необходимости опровержения платонизма. Конкретизируйте, пожалуйста, что Вы под этим понимаете.

У меня не очень высокое мнение о теории математической реальности. Потому что я считаю, что она фундаментально основана на неправильном понимании с спутывание смысла слов.

Теория Тегмарка утвреждает, что реальность — это математическая структура. Все математические структуры одновременно реальны. Люди это тоже математические структуры, подструктуры определенной вселенной. И математические структуры при определенных условиях могут приобретать сознание и опыт, подобный нахождению в физической реальности.

Эта гипотеза не может быть опровергнута, потому что она кажется непротиворечивой. Но мне кажется, что в ее основе лежит ошибка, которую делают многие студенты физики, когда они отождествляют объект и его математическое описание. Например, на вопрос, что такое частица, студент может ответить, что это, например, &laqu;вектор». И этого понимания хватит для решения каких-то задач. Но для решения каких-то других задач придется добавлять новые свойства. Потому что математические модели объектов обычно подразумевают упрощения. И когда ми пытаемся ответить на вопрос, что такое частица, то мы ищем ответ, который был бы более полным чем какая-то математическая модель и уже содержал бы в себе все возможные модели. И нет никакого основания считать, что существует такое описание, которое само при этом будет математической моделью.

И даже если бы у вселенной или ее частей существовали бы абсолютные математические модели, то из этого не следовала бы их реальность и существование, что уже есть сложный философский вопрос, который близок к вопросу 2. Тегмарк ссылается на принцип Оккама, и утверждает, что если у нас есть (абсолютные) математические модели объектов, то нам будет проще отождествить эти модели с ними. Но мне кажется, что наши математические модели не достаточно хороши, чтобы считать их обладающими абсолютной объяснительной силой (см. прошлый параграф). Поэтому я не считаю этот аргумент очень хорошим. Можно было бы сказать, что мы можем построить объединение (прямой предел) всех возможных моделей определенного объекта. И тогда если эта модель не будет обладать абсолютной объясняющей силой, то тогда существует уровень реальности, где математика ломается (На ум приходит что-то в духе Лавкрафта и спекулятивных реалистов). Тегмарк мог бы на это сказать, что этого не наблюдается и по соображению Бритвы Окама этот вариант нужно отбросить. С этим я не уверен. Другая проблема может быть связана с тем, что прямой предел может получиться неконструктивным. И лишенного доступного людям описания. Но это опять вопрос про существование математических объектов.

Насчет математического платонизма. При математическом платонизме мы подразумеваем, что математические объекты существуют на особом плане реальности или (мета-реальности) независимо от людей. А потом они познаются путем разума. Мне такая позиция в первую очередь не нравится тем, что она скучная. И мне кажется, что если мы попробуем разработать альтернативную концепцию, то мы сможем узнать нечто новое о том, как люди занимаются математикой. В качестве альтернативы мне нравится идея Математический фикционализм. Основная идея там заключается в том, что математические объекты являются формой (художественного) вымысла, а следовательно не реальны. Нужно отметить, что существует разница между произвольными наборами высказываний (в смысле Utterance) и (художественным) вымыслом, потому что вымысел подразумевает определенную внутреннею консистеность, что роднит его с непротиворечивыми теориями в логике, хотя непротиворечивость (художественного) вымысла и более обтекаемое понятие.

Основная проблема с классическим математическим фикционализмом в том, что a) Он не достаточно хорошо объясняет суть математической деятельности б) Он не объясняет «поразительную эффективность математики в физики». После погружения в миры Уильяма Блейка меня поразила идея, что более правильной метафорой для математического процесса или вернее прототипом математического процесса должна быть детская игра. Детская игра в значительной степени обладает свойствами (художественного) вымысла описанного выше (стремление к внутренней непротиворечивости). Тут важно то, что детская игра является также и прототипов таких видов деятельности как поэзия и религия. И это связывает математику с поэзией и религией. Для Блейка поэтическое вдохновение было божественным снисхождением. Но и для Рамунуджана его математические прозрения были божественными снисхождениями. И в этой новой формулировки (математика как форма развития игры)я вижу более правдоподобное описание математического процесса (которое согласуется с моим личным опытом). Также описание похоже на идею языковой игры позднего Витгенщтейна. И мне тоже нравится это направление мысли.

При это нужно не забывать, что кроме математического Платонизма существует еще и общий Платонизм. Там в пространство идей помещаются самые разные объекты из философии и религии. В том числе и Бог. И я думаю, что к ним тоже можно применить общий фикционализм того же типа. И тогда они тоже становятся элементами вымысла, но скорее не в смысле художественной литературы, а как мета-элементы или мета-правила игр. Воображение и вдохновение это также важный аспект игры. И мне кажется многие исследователи вопроса платонизма и анти-платонизма в прошлом игнорировали его.

Что же касается «поразительную эффективность математики в физики», то это сложный вопрос. Можно предположит, что дело просто в том, что математические теории выбирались людьми не от балды, а так чтобы решать разные практические вопросы. И так мы получили эволюционный процесс, который привел к появлению языковых игр хорошо помогающих в инженерном деле, а следовательно и в физике.

Первый — это теория центральных расширений групп. Там в качестве основы сопряжения берется функтор абеленизации групп (факторизация на коммутатор), причем в конструкции используются только эпиморфизмы. Расширениям групп B -> A в этой ситуации можно сопоставить с короткими точными последовательностями 0 -> K -> B -> A ->0. И расширение будет центральным, если ядро K содержится центре B. Центральное расширение называется слабо универсальным, если для любого другого центрального расширения той же группы A существует морфизм цепей. Все слабо универсальные центральные расширения в этом сюжете будут спусками Галуа. Если A в таком расширение превосходная группа (коммутатор A равен A), то B тоже превосходная и группоид Галуа будет абелевой группой. Более того, в этом случае группа Галуа будет второй гомологией A в целых числах! Этот результат связан со знаменитой формулой Хопфа.

Для того, чтобы перейти ко второй темы авторы долго разрабатывают теорию рефлективных систем факторизаций морфизмов в теории категорий. Оказывается, что такие системы имеет соответствие один-к-одному с рефлективными подкатегориями. Оказывается, что подкатегория пространств Стоуна в категории компактных хаусдорффовых топологических пространств как раз рефлективная. Напомню, что рефлективные подкатегории как раз отличаются тем, что функтор вложения для них имеет сопряжение слева. В этом случае спусками Галуа будут те, у которых проекции при симметричном пулбэки будут в одном из классов факторизации. Авторы применяют этот к результат пространствам Стоуна и получаеют факторизацию непрерывных отображений компактных Хаусдорфовых пространств на монотонную и легкую часть. Монотонными называются непрерывные отображения, у которых прообраз любой точки связан. А легкими такие, у которых прообраз любой точки полностью не связан. В этом случае спуском Галуа всегда будет отображением из пространства X в. компактификацию Стоуна-Чеха его же самого с дискретной топологией. У такого Спуска Галуа расщепленными объектами будут все легкие отображения в Х. В итоге мы получаем довольно нетривиальный результат в общей топологии с очень категорным доказательством.

Я решил адаптировать под эту ситуацию свой предыдущий пример. Когда спуск Галуа порождает вложение сигма-алгебр событий. И мы рассматриваем вложения соответствующих эль большая бесконечность пространств. Только теперь я решил построить спуск Галуа в категории коммутативных алгебр фон Нойманна. А в качестве второй категории я взял эквивалентную обратной к первой категорию гиперстоуновских пространств. Там вроде все хорошо работало получились спуски Галуа, получился группоид Галуа — отношение эквивалентности «не различаю фильтры». Даже если изначально пространства были Польскими и была дана вероятность, то на группоиде можно завести вероятность и систему Хаара из условных вероятностей. Тогда объекты с действием группоида получают структуру однородной цепи Маркова. И так как на гиперстоунновском пространстве достаточно много мер, и пространство эргодических компонент этой цепи Маркова всегда гиперстоунновское. То мы можем даже изъясниться и найти на каждой такой цепи стационарную вероятностную меру. Потом очень долго искал какой-нибудь крутой критерий определения расщепляемых алгебр, типа энтропии. Я заебал одну нейросеть требованиями найти этот критерий. И она активно их предлагала, но все они были ущербные и ошибочные. Потом я понял, что все алгебры расщепляются, и это следует из того, что мы начали с эквивалентности категорий в качестве сопряжения, наварное. Вот такой смешной конфуз.

В итоге, хочу подчеркнуть, что это довольно мощная теория. Потому что для каждого сопряжения достаточно полных категорий мы получаем свою особую теорию Галуа. Эта теория Галуа может, конечно, иногда получаться дурацкой или бестолковой. Но такова жизнь.

Текст начинается с повторения классической теории Галуа. Не буду на ней долго останавливаться, потому что я уже о ней писал тут(начало тут). Главное тут то, что основная теорема теории Галуа устанавливает связность Галуа (то есть сопряжение функторов между предпорядками) между промежуточными расширениями полей K&mdashF—L расширения Галуа K—L и подгруппами группы Галуа Gal(L:K). Эта связность ограничивается на изоморфизм между упорядоченными множествами нормальных расширений и нормальных подгрупп. Ключевая идея Гротендика тут, как мне кажется, заключалась в том, что промежуточные расширения — это частный случай коммутативных $K$-алгебр. И эту связность Галуа можно расширить до большого сопряжения больших категорий профинитных K-алгебр (тут финитность понимается в смысле размерности) и профинитных множеств с действием группы Gal(L:K) (тут финитность понимается в смысле кардинальности). Другое свойство промежуточных расширений F это то, что все элементы в них являются корнями многочленов с коэффициентами в K и неповторяющимися (!) корнями в L, потому что расширение Галуа всегда алгебраическое. Элементы K-алгебр тоже можно подставлять в такие многочлены. И алгебры для которых упомянутое выше условие выполняется называются «Расшипленными». Оказывается, что эквивалентность Галуа продолжается на эквивалентность между категорией обратной к категории расщепленных алгебр и пространствами Стоуна с непрерывным действием группы Галуа. При этом эта эквивалентность категорий является конкретной двойственностью в смысле Джонстона. И шизофреническим объектом этой двойственности является поле L, которое одновременно является и K-алгеброй и множеством с действием на нем группы Галуа (изоморфизмами сохраняющими K). Причем категория пространств Стоуна с действием группы Галуа будет топосом. А значит категория расщепленных алгебр обратна к топосу.

Я придумал пару простых примеров. рассмотрим расширениe $R\mdash;C$. Тогда группа Галуа устроена как S_2. И переход между категориями осуществляется путем построения множеств морфизмов в С. Кажется, что существует всего две двухмерные расщепленные алгебры. Это R^2 c поточечными операциями и С. R^2 расщепляется, потому что элемент $(a,b)$ будет корнем многочлена f(x) = (x-a)(x - b). У R^2 eсть два морфизма алгебр $R^2 \to С$, а именно левая и правая проекция. В итоге получается множество из двух с тривиальным действием группы. Понятно, почему С расщепляется. Потому что для любого комплексного z, многочлен f(x) = (x - z)(x - \bar z) будет иметь действительные коэффициенты. Опять же есть два морфизма алгебр, тождественный и с комплексным сопряжением. И у нас получается просто множество из двух элементов с очевидным действием перестановками. Понятно, что других действие группы на множестве из двух элементов нет. Поэтому в соответствии с теоремой, что эквивалентность переводит размерность в кардинальность, действительно существует всего два класса расщепленных алгебр размерности 2 (в этом случае). Теперь рассмотрим расщепленную алгебру с бесконечной размерностью. Такая алгебра всегда будет иметь вид: множество функций из какого-то множества в X в какое-то подполе L, которые принимает только конечное число разных значений. Это обязательно. Пусть еще какие-то необязательные ограничения на функции. Например, можно взять алгебру A, cостоящую из действительных последовательностей, которые принимают только конечное число разных значений. Тогда морфизмы A \to C, это не только проекции, но и любые частичные пределы абсолютные частичные пределы. А частичных пределов существует столько-же сколько и ультрафильтров на множеств натуральных чисел. Поэтому в итоге мы получаем компактификацию Стоуна-Чеха с тривиальным действием группы Галуа! Пример, нерасщеплённой алгебры — Это например алгебра многочленов, или двухмерная алгебра с нильпотентном.

Следующая идея заключается в том, чтобы вместо расширения полей использовать расширения коммутативных колец R—S. Тут основная проблема в том, что многочлены с коэффициентами просто в кольцах уже так хорошо не работают. И нужно новое определение расщепленных алгебр. Теперь вся теория строится на взаимодействии двух функторов. Мы используем то, что любой морфизм R \to S превращает кольцо $S$ в $R$-алгебру и создает функтор расширения скаляров из $R$-алгебр в $S$-алгебр. Один функтор, состоит из композиции расширения скаляров и спектра Пирса, и отображает R-алгебру в пространство Стоуна, которое (благодаря структуре алгебры) будет расслоением над спектром Пирса кольца S. Назовём его P_S. Второй функтор сопоставляет любому расслоению над спектром Пирса кольца S множество морфизмом из него в расслоение пучка Пирса кольца S (в этой книге его называют структурным пучком S). Назовем этот функтор С_S. Назовем композиции этих функторов T. В итоге расщепленными называются R-алгебры A, на которых Т(A) изоморфно расширению скаляров. Мы еще не сказали, что такое расширение Галуа для колец, которое в этой теории называется спуском Галуа. Спуск Галуа это эффективный спуск в категории обратной к категории колец, такой что для любого пространства Стоуна X, расслоённого над спектром Пирса кольца $S$, алгебра C_S(X) будет расщепленной. Спуски Галуа всегда будут инъекциями, и эффективность обычно следует из того, что у них есть ретракт в категории R-модулей. Примером неэффективной инъекции может быть вложение целостного кольца в поле частных. Например, многочленов над полем в поле рациональных функций. Так вот, как раз это не спуск Галуа. Случай с полями тут как раз сводится к обычной теории Галуа Гротендика потому что спектр Пирса поля состоит из одной точки.

Теорема Галуа в этом контексте формируется так, что категория расщепленных алгебр эквивалента категории пучков на так называемом группоиде Галуа, который существует внутри категории пространств Стоуна. Множество объектов этого группоида — это спектр Пирса кольца S. Множество стрелок — Спектр пирса тензорного произведения S c cамим собой над R. А основные операции получаются путем отображения функтором Спектр Пирса стандартных операций связанных с тензорным произведением. Внутренние пучки тогда — это просто расслоения над спектром Пирса с дополнительной структурой, типа действие группоида, которая устроено почти также как действие группы, только определено на на всем декартовом произведение, а на той его части, где домен стрелки равен слою точки в пучке. Понятно, что в одну сторону мы переходим, используя функтор $P_S$, а в другую видимо, строим набор морфизмов пучков, уважающих действие группоида (так теперь кодируется неподвижность под действием группы). Таким образом у нас уже нет шизофренической двойственности. Но она почти есть, потому что для перехода в одну строну, мы используем глобальные сечения пучка Пирса над S, а в другую сторону его представление как расслоение. Замечу также, что внутренние пучки над группоидом будут топосом.

Примеры типа расширения полей, колец многочленов над полем, или разных видов алгебраических целых, мне кажется не очень интересными, потому что их спектры Пирса состоят из одной точки. Интересный, пример как мне кажется это алгебра фон Неймана L^\infty(...) над вероятностным пространством. Там булева алгебра идемпотентов изоморфно соответствующей сигма-алгебре по модулю множеств меры ноль. А значит спектра Пирса может быть неебически большим. Рассмотрим случай "условной вероятности", когда одна сигма-алгебра вкладывается в другую. Тогда мы получаем две алгебры фон Неймана, назовем их А и А', и отображение A -> A', типа "условное мат. ожидание". Про алгебры A и A', можно думать как про ограниченные случайны величины, с разным уровнем придельной стохастичности (уровня неопределенности). Причем, верхний порок стохастичности в A больше чем в A'. И когда мы получаем определенную информацию, то стохастичность всех случайных величин в A cнижается, и он оказываются в A'. Из этого описания понятно, что A' вкладывается A. И условное мат. ожидание будет ретракцией A'-модулей. Поэтому это вложение будет эффективным спуском. Я считаю, что смог доказать, что это вложение в действительности будет спуском Галуа. Тогда группоид Галуа это отношение эквивалентности, типа "неразличимо относительно малой сигма-алгебры" на точках спектра Пирса. Я думаю, что просто из функториальности конструкции и результатов из статьи Т. Тао и А. Джамнешана и на стрелках и на объектах группоида Галуа в этом случае можно завести вероятностные меры, а потом дезинтегрировать вероятностную меру на стрелках по классам эквивалентности. Кажется, что так мы получаем структуру измеримого группоида в духе некоммутативной геометрии и эргодической теории (просто из симметричности конструкции). В этом случае дезинтеграции меры по классам эквивалентности называется системой Хаара. Но в нашей интерпретации она может называться просто условной вероятностью.

Пучки на группоиде будут устроены как расслоения над спектром Пирса A, разделенные на непересекающиеся зоны, гомеоморфные классам эквивалентности группоида. На каждой такой зоне можно завести условную вероятность. Хотя не любое пространство Стоуна допускает хорошую вероятностную меру на себе, мы можем перенести условные вероятности на соответствующие зоны и тем самым превратить пучок в цепь Маркова. Тогда вышеописанные зоны будут соответствовать эргодическим компонентам этой цепи, или компонентам достижимости. Пространство эргодических компонент такой цепи Маркова сам будет пространством Стоуна. И все расщепленные алгебры будут устроены как непрерывные функции из таких пространств эргодических компонент в расслоениe пучка Пирса A'. Поэтому, например если, изначально мы брали действительно-значные L^\infty пространства. То их комплексные аналоги расщепляться не будут. Дальше встает вопрос, что будет если подвигать категорию, и например вместо категории колец работать прицельно в категории следовых коммутативных алгебр фон Неймана. на этот вопрос я смогу ответить прочитав, следующую главу Борсу и Джанилидзе.