| математические планы затягивают(ся) |
Jul. 10th, 2023|08:07 pm |
Сейчас я разбираю книгу Set Theory: Boolean Valued Models and Independence Proofs Джона Лэйна Белла. Вот причины почему я это делаю:
1) Мне нужно познакомиться с форсингом. А эту книгу рекомендовали как сжатую и продвинутую. И после моего знакомства с булевыми алгебрами на более глубоком уровне в прошлом году их активное использования для меня скорее плюс, а не минус. В целом этот же материал (основы) изложен в, как мне кажется, более дружелюбной форме у Манина. Но есть еще четыре причины сосредоточиться на книге Белла.
2) Независимость аксиомы выбора тут дается через доказательство Йошиндо Сузуки, которое использует действие группы автоморфизмов булевой алгебры на теорию множеств. Я думаю, это довольно крутой алгебраический подход сам по себе. Возможно, Манину бы такое понравилось.
3) Аксиомы Мартина. В одной из формулировок, это что-то вроде обобщения леммы Сикорского-Раисовы, где счетность меняется на произвольную кардинальность к. Дело в том, что когда я изучал логику первого порядка, у меня появилась идея, что так лемма Сикорского-Раисовы доказывает только счетную компактность логики первого порядка, то из общей компактности логики первого порядка можно доказать альтернативную формулировку леммы Сикорского-Раисовы, где условие на кардинальность меняется на структурное условие, выражаемое через действие группы автоморфизмов булевой алгебры. И я подумал, что если прочитать главы в середине этой книге, то в голове на этот счет появиться какая-то ясность.
4) Булево-значный анализ. Оказывается, что если взять в качестве булевой алгебры для булево-значной модели алгебру меры , то действительные числа в булево-значной модели становятся устроены (в определенном смысле) эквивалентно борелевским измеримым функциям на R. И при этом из логики получается сразу перенести много теорем действительного анализа с R на измеримые функции. Это называется трансфер принципом. Но он не заканчивается на действительных числах, и его можно применять ка любым формально определенным математическим объектам, и получать как-бы их больших братьев. В Новосибирске Кутуладзе И Кусраев вроде бы успешно использовали этот метод для решения задач функционального анализа и оснований квантовой механики. Но я думаю об использование этого метода в геометрии. Кажется, что "большой брат" любого геометрического объекта будет автоматически по трансфер принципу обладать в булево-злачной вселенной теми же геометрическими свойствами. То есть случайные элементы в аффинном пространстве будут "аффинным пространством", cлучайные элементы в метрическом пространстве будут "метрическим пространством", а случайные элементы на геодезических многообразиях будут "геодезическими многообразиями". Я думаю об этом отчасти в контексте задачи ![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif) deevrod про раздутия пространства выпуклых тел. Потому что в этом случае касательные пространства и "геодезические" существуют автоматически. Харуказа Нашимура написал давно статью Foundations of Boolean Valued Algebraic Geometry. Но она немножко по другой теме. Потому что, как я понял, там булевы алгебры конструируются из идеалов с не очень естественными операциями. И большого отклика у математического сообщества эта статья не вызвала. Сейчас, кстати, Нашимура занимается альтернативными основаниями дифференциальной геометрии.
5) Булево-значные модели это очень естественный естественный пример нетривиального булевого топоса. И книжка Белла очень удачно заканчивается на аппендиксе про топосы, где доказываются некоторые эквивалентности. Потом я решил, что Белл подходит для плавного изучения теории топосов. Кстати, теперь понятно, куда делись булево-значные модели из современной математики. Их съели топосы.
Еще, если уж переходит к топосам, я хотел бы написать про свои соображния при выборе книг по этой. Я знаком с книгами Голдблатта "Топосы: категорный анализ логики" и Лауври "Сonceptual Mathematics", но они оказались слишком простыми для меня. Поэтому я решил остановиться на книгах МакЛэйна "Пучки в геометрии и логики" и Того же Белла "Топосы и локальные теории множеств". Пока начало МакЛэйна побеждает по понятности, и я буду читать в первую очередь именно ее. Еще я пребывал смотреть Джонстона "Topos Theory", но она мне показалась слишком сложной. Зато я нашел у Джонстона еще одну интересную вещь, книгу Stone Spaces. В ней как, оказалось, довольно подробно пишут про Фреймы и Локали на топологических пространствах. И эта тема у меня давно маячит перед глазам, а где про нее читать было не понятно. Поэтому буду читать в таком порядке МакЛейн, Белл, Джонстон. Учитывая опыт с булево-значными моделями. Должен получиться интересный курс топосов с большим количеством конкретных нетривиальных примеров.
Вот мои основные источники интереса к топосам:
1) Как я убедился при чтении Логики Манина, что пучки возникают и в теории вычислений. А значит и топосы. Отсюда опять же определенная эзотерическая теория связывающая топологию и теорию вычислений. О ней я давно слышал, но только сейчас стал нащупывать что-то конкретное. Опять же у этой темы есть разные современные продолжения. Вроде дескриптивной теории множеств для вычислимых объектов или измеримых топосов.
2)Локальные теории множеств кажутся мне интуитивно самыми правильным видом оснований математики. Но формально я с ним не знакомился. И эту ситуацию исправить должен помочь Белл.
3) Опять же фреймы и локали, и разные топосологические конструкции в общей топологии давно маячат перед глазами. А теперь можно будет нормально с ними разобраться.
4) Можно-будет после этого подходить с чистым сердцем к Global Calculus Раамана, где пучки активно применяются в дифференциальной геометрии.
Проблема в том, что как я недавно заметил. Чтения булево-значных моделей идет медленно. Я подумал, почему бы не замиксовать это дело с чтением МакЛейна про Топосы? Но сейчас я заметил, что я проработал только две первые главы Белла. С другой стороны эти две первые главы занимают больше трети всей книги, поэтому результат может быть и не совсем плохой. С еще одной стороны, я там что-то уже знал и что-то пропускал. С четвертой стороны cкорее всего это дело, может быть связано не со сложностью материала а просто с обилием посторонних дел. Поэтому я не уверен, хорошая ли это идея. |
|