Задача о разрезании пиццы: на сколько максимально областей можно разделить плоскость n прямыми?

У Кнута, Конкретная математика, ответ - просто полином. А вот в другой книге, Catalan numbers with applications, приводится ответ для аналогичной задачи о разрезании торта - через биномиальные коэффициенты, и ответ этот поразительно красивый.

Вообще, вижу три варианта обобщения:
1) до размерности k
2) усложняя "разрез", как Кнут дальше
3) разрезая другие топологические пространства
посредине между 2) и 3) - изучение более тонкие свойств разрезов * * *

Первый путь более естественный и, кроме того, нашему пониманию даёт гораздо больше, чем просто плоская задача. "На сколько максимально областей можно разбить пространство размерности k при помощи n разрезов - гиперплоскостей?" Ответ: (n, k) + ... + (n, 1) + (n, 0).

У такого ответа, думал я, не может не быть доказательства перечислением (enumerative argument). И действительно, сообразил вот так. Эти гиперплоскости не должны быть параллельными и перескаться более, чем по k. Введём ось (направление), неперпендикулярное этим гиперплоскостям. Найдём точку пересечения с миниимальной координатой и проведём "под ней" гиперплоскость, перпендикулярную оси. Над этой плоскостью - (n, k) точек пересечения, каждая - вершина политопа, находящегося "выше" этой точки. То есть, координата на каждой гиперплоскости - грани этого политопа, прилегающей к этой вершине, - растёт. Пронумеруем эти (возможно, неограниченные) политопы, их как раз k-из-n. Что осталось? Только политопы, "бесконечные вниз", то есть, с вершиной, где хотя бы на одной из граней координата уменьшается. Эти политопы, очевидно, пересекают нашу "базисную" гиперплоскость "внизу". Причём в проекции на неё они дают гипермногоугольники, биективно соответствующие им самим. Присмотримся к этой проекции - да это ведь та же задача, только в пространстве на размерность меньше! Отсюда сразу ответ: (n, k) + ответ на задачу в (k-1)-мерном пространстве. Ну, и так до нольмерного пространства, где ответ очевиден.