Настроение:	sick
Музыка:	Racist Redneck Rebels - Keep The Hate Alive
Entry tags:	math, mccme

"Основы топологии и метрической геометрии", первый курс
Я, между прочим, с этого понедельника читаю первокурсникам
НМУ топологию. Вот программа

"Основы топологии и метрической геометрии"
второй семестр, обязательный курс.

1. Метрические пространства. Норма в векторных пространствах.
Нормированные кольца и поля. *Теорема Островского. Пополнение.
P-адические числа.

2. Компакты.
Теорема Гейне-Бореля (секвенциональная
компактность в метрическом пространстве эквивалентна
обычной). Геодезические. *Теорема Хопфа-Ринова (локальная
компактность в полном метрическом пространстве равносильна
существованию геодезических).

3. Основы общей топологии. Дискретная, кодискретная топология,
аксиомы Хаусдорфа, аксиомы счетности, экзотические примеры
топологических пространств. Сходимость последовательностей
в топологических пространствах. Гомеоморфизм, замыкание,
всюду плотные множества.

4. Произведение топологических пространств.
Гильбертов куб. *Лемма Урысона (о существовании непрерывных функций
на хаусдорфовых пространствах). *Теорема о метризуемости
(хаусдорфово пространство со счетной базой метризуемо
и допускает замкнутое вложение в гильбертов куб).

5. Компактность в топологических пространствах.
*Теорема Тихонова (произведение компактов компактно).

6. Поточечная и равномерная сходимость. Теорема Арцела-Асколи.
Кривая Пеано.

7. Связность. Вполне несвязные пространства. Канторово множество.
*Теорема Стоуна о спектре (эквивалентность вполне несвязных
хаусдорфовых пространств и булевых колец).

8. Линейная связность, геодезическая связность
(на метрических пространствах). Фундаментальная группа.
Примеры односвязных пространств. Стягиваемые пространства.
Деформационные ретракты.

9. Факторизация топологических пространств по соотношению
эквивалентности. Пространство орбит группы. Фундаментальная
группа графа.

10. Накрытие. Произведение накрытий - накрытие.
Композиция накрытий - накрытие. Накрытие Галуа.
Группа монодромии накрытия.

11. Теория Галуа для накрытий (подгруппы
группы монодромии соответствуют накрытиям).
Существование универсального накрытия для
линейно связных пространств.

12. Гомотопическая эквивалентность. Многообразия.
Локально стягиваемые пространства. Односвязность
n-мерной сферы. * Компоненты связности пространства
петель локально стягиваемого пространства 1-1
соответствуют элементам фундаментальной группы.

13. Свободная группа. Свободное произведение групп.
Подгруппа свободной группы свободна.

Звездочками отмечены темы, которые будут в задачах
и записках лекций, а в лекциях - как придется
(в зависимости от прогресса студентов, но скорее
всего нет). Порядок будет не такой, как написано:
темы, отмеченные звездочками, лучше отложить,
пока основной материал отлежится - тоже в
зависимости от восприимчивости студентов.

Расписание см. тут.

Сам курс является сокращенной формой того, что мы делали
три года назад, но с лекциями.

Я выложил первую лекцию и листки с
задачами, в общей сложности 27 страниц
с иллюстрациями. Листки, в общем, особо менять
не пришлось.

Буду чрезвычайно признателен за любые исправления,
дополнения и просто мысли.

Такие дела
Миша