Ой, изивините, я малость объебался. Последние дни я ужасно невнимательный. Последнюю часть цитированного абзаца при диагональном просмотре я беспардонно проглядел. Это вот:

>Все! Для совокупности объектов не существует никаких других
причин быть множеством, кроме перечисленных выше и аксиомы выбора. Т.е. если какое-то множество не получается при помощи перечисленных выше конструкций, то единственной причиной, по которой оно может существовать,
во всех случаях является аксиома выбора

Пассажи перед этим носили гораздо менее категоричный характер и ничего нового про сравнению с элементарными положениями и следствиями ZFC не предлагали, отчего ваши претензии вызвали недоумение. Утверждение получается действительно слишком сильным, так что комментарий мой не по делу.

Впрочем, я думаю, автор достаточно компетентен, чтобы не допускать такие ляпы. Так что претензии должны относиться более к стилю и форме изложения. Там скорее всего речь идет об объектах, являющихся в том или ином смысле "естественными", то есть привычными для работающего математика. Разные "экзотические" множества, вроде множества промежуточной мощности между счетной и континуумом мощностей, вряд ли занимают большое количество математиков, кроме логиков. Следовательно, речь идет о некотором общепрофессиональном неформальном понятии множества, с которым чаще всего сталкивается большинство математиков. По меньшей мере именно так мне представляется смысл того, что хотел сказать автор. Весьма возможно, конечно, в книжке полно аналогичных ляпов, я не читал внимательно. Аффтар, однако, жжот, чего же боле.

>Да это известный факт

Я знал о том, что Кантор сильно переживал по поводу дыр и трещин в своей теории. Только из текста мне представлось, что Кантор понимал об этом гораздо большее, чем это общепринято думать, и это показалось мне интересным фактом. Не только про классы, я не очень хорошо выразил, а вообще, концептуально, гораздо глубже, чем принято думать. Я в принципе совершеннейший профан, и плохо представляю себе взгляды и настроения того времени, статей Кантора, опять же, почти не читал, и прошлое мнение мое составил из обрывочных фактов. Так что это может быть только для меня свежее, или я преувеличиваю то, что в книжке у Вавилова написано. Я не в себе немного последнее время. Но у Вавилова это мысль по-моему очень отчетливо обозначена. Опять же, это могут быть лишь его тараканы.

>Тут сложнее

Я ничего такого в виду не имел, просто меня напрягают дискуссии по поводу оснований. Кроме того, что они уже давно устарели. "Актуальную бесконечность" и теорию множеств я принимаю нормально, по крайней мере полезного в них куда больше, чем вредного.
Что ж исследований по логике и основаниям, то они все мне видятся по большей части "разновидностью духовного онанизма", как вы сказали. Прикольно там дофига, конечно. Упоминаемый вами Вопенка хороший несомненно. Нестандартный анализ тоже прикольный. Ну куча других веселых штук, уж точно интереснее исследований по каким-нибудь "муфтанговым лупам".