Настроение:	tired
Музыка:	Throbbing Gristle - Third Mind Movements
Entry tags:	math

"A formally Kahler structure on a knot space of a G2-manifold"
Выложил чрезвычайно важную научную статью, даже две
http://arxiv.org/abs/1003.3174
"A formally Kahler structure on a knot space of a G2-manifold"
http://arxiv.org/abs/1003.3170
"A CR twistor space of a G2-manifold"

Про алгебраическую геометрию над алгеброй октав.

Октавы есть 8-мерная алгебра с делением,
неассоциативная, и полученная из кватернионов той
же процедурой, который кватернионы получаются
из комплексных чисел.

Многообразия над октавами определяются
примерно так же, как многообразия (например)
над кватернионами. Основной пример - G2-многообразия,
семимерные, римановы, с голономией, которая лежит
в G2.

Поскольку мы живем на G2-многообразии, октавная геометрия
не только интереснее, но и важнее всех прочих.

Предыдущая геометризация физического пространства
(общая теория относительности) была кватернионная.
С ней довольно долго не знали чего делать, пока Пенроуз
не переписал уравнения ОТО, получив комплексно
аналитические уравнения на специальном комплексном
многообразии, которое называется пространство
твисторов, и описывает кватернионную геометрию
комплексно-аналитическим языком. Пространства
твисторов Пенроуза с тех пор много использовались
в математике, и привели к куче замечательных
достижений, в том числе и (отчасти) к теории
Дональдсона.

С G2-многообразиями подобный номер не проходит,
и пространства твисторов у него нет. Я (уже лет 10
назад с лишним) заметил, что пространство узлов
(непараметризованных петель) для G2-многообразия
выглядит как комплексное многообразие, и могло
бы играть роль пространства твисторов. Примерно
тогда же Мовшев написал статью, в которой доказывал,
что оно симплектично, то есть (если комплексно)
то и кэлерово. Примерно 10 лет я придумывал разные
способы, как доказать, что это пространство узлов
комплексное, исписал, наверное, страниц 200 бумаги,
и наконец придумал.

Аргумент получился довольно концептуальный.
Сначала строится "твисторное CR-многообразие",
то есть многообразие с комплексной структурой
на подрасслоении в касательном расслоении, такой,
что подрасслоение (1,0)-векторов инволютивно.
Твисторное CR-многообразие это 13-мерное
пространство единичных сфер над нашим 7-мерным
G2-многообразием. Горизонтальное слоение там
7-мерно, у него есть 6-мерное подрасслоение,
состоящее из векторов $v\in T_{s, v}S^6 M$,
отрогональных s. На нем (довольно очевидно)
есть почти комплексная структура; ее
интегрируемость получается из наличия
на нем замкнутой, невырожденной 3,0-формы.
Комплексная структура на узлах получается,
если мы интерпетируем узлы как трансверсальные
к этому слоению подмногообразия в пространстве
твисторов.

В свое время Брылинский (страниц на 20) строил кэлерову
структуру на пространстве узлов в любом римановом
3-мерном многообразии, но теперь у меня есть
способ делать конструкцию Брылинского в одну
строчку.

Не думаю, что снискаю много славы этими
двумя статьями (быдло не оценит), но сам
доволен адски.

Привет