Настроение:	tired
Музыка:	Genesis - Lakeland Civic Center Concert Hall - January 11, 1975
Entry tags:	hse, math

"что нужно выучить по геометрии"
Набросал программу
"что нужно выучить студенту по геометрии".
Со специальным упором на реализм, то есть
без ориентации на матшкольников, которые
все равно по большей части повывелись.

* * *

Первый семестр - линейная алгебра.
Векторные пространства, базис, билинейные
формы, полилинейные формы, тензорное произведение,
алгебры Клиффорда, алгебры Грассмана, определитель.

Поскольку тензорное произведение и алгебры Грассманна -
ключ к геометрии, надо делать их центральным понятием
линейной алгебры, определять детерминант через
алгебру Грассмана, например.

Первый семестр - теория множеств.
Лемма Цорна. Вполне упорядоченные множества. Базис
Коши-Гамеля. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность
множества вещественных чисел.

Первый семестр - топология.
Метрические пространства. Теоретико-множественная
топология (определение непрерывных отображений,
компактность, собственные отображения). Теорема
Гейне-Бореля. Пополнение (пополнение очень
интенсивно используется дважды: при
определении вещественных чисел, и при
определении меры Лебега, то есть на пополнение
необходимо прорешать огромный курс задач;
я давал моим студентам задачи на полноту
метрики Хаусдорфа и на теорему Хопфа-Ринова,
но это стоит оставить на выбор лектора).

Второй семестр - топология.
Произведение компактов. Теорема Тихонова.
Гильбертов куб и тихоновский куб. Топология
на пространстве отображений. Гомотопии,
фундаментальная группа, гомотопическая
эквивалентность, универсальное накрытие. Теорема
Нильсена-Шрейера, теорема Зейферта-ван Кампена.

Второй семестр - многомерный анализ.
Анализ на $R^n$. Дифференциал отображения. лемма о
сжимающем отображении. Теорема о неявной функции.
Гильбертовы, банаховы пространства.

Второй семестр - интегрирование.
Равносоставленность многоугольников и
многогранников, пополнение пространства
многогранников в метрике, заданной мерой
симметрической разности. Измеримость
открытых множеств. Теорема Фубини и
теорема Радона-Никодима. Функториальные
свойства меры и кратные интегралы.

Третий-четвертый семестр - дифференциальная геометрия.
Многообразия, разбиение единицы, векторные поля, ростки
функций, пучки, векторные расслоения, теорема Серра-Суона.
Дифференциальные формы, оператор де Рама,
теорема Стокса, производная Ли, диффеоморфизмы.
Связность, лапласиан, дифференциальные операторы
и их символы. Римановы многообразия, связность
Леви-Чивита, кручение и кривизна.

Замечание к предыдущему абзацу. Огромной
концептуальной трудностью для большинства
студентов является определение векторного
расслоения, без которого обойтись в геометрии
невозможно. Соответственно, лектору придется
провести половину времени, добиваясь от студентов
понимания того, что есть векторное расслоение.
Теорема Серра-Суона -- возможно, излишество,
но в любом случае половину времени придется
затратить на расслоения.

Третий-четвертый семестр - топология.
Субмерсии, иммерсии, теорема Сарда.
Трансверсальность. Степень отображения
как топологический инвариант.
Когомологии де Рама. Последовательность
Мейера-Виеториса. Сингулярные когомологии.
Инвариантность определения когомологий.
Когомологии с компактным носителем.
Двойственность Пуанкаре. Локально
тривиальные расслоения, гомотопические
группы, точная последовательность
гомотопических групп расслоения.

Четвертый семестр - комплексный анализ.
Контурные интегралы, формула Коши, разложение
аналитических функций в ряд Тэйлора.
Теорема Римана, теорема Пикара, j-инвариант
эллиптической кривой, фуксовы группы, нормальные
семейства отображений.

Пятый семестр - дифференциальная
геометрия и группы Ли. Алгебры Ли. Универсальная
обертывающая алгебра. Формула Кэмпбелла-Хаусдорфа
и соответствие между группами Ли и алгебрами Ли.
Экспонента векторного поля и поток диффеоморфизмов.
Слоения. Теорема Фробениуса. Почти комплексные
структуры и их интегрируемость.

Пятый семестр - УрЧП.
Символ дифференциального оператора,
эллиптические операторы и оператор Лапласе.
Свойства эллиптических операторов (неравенство
Харнака, эллиптическая регулярность, принцип
максимума). Компактные операторы,
фредгольмовы операторы, ядерные операторы,
лемма Соболева, лемма Реллиха, неравенство
Гординга. Фредгольмовость эллиптических
операторов. Применения эллиптических
операторов в топологии (теория Ходжа,
формула Атьи-Зингера).

Пятый семестр - топология.
Характеристические классы, формулы
Гаусса-Бонне и Черна, классифицирующие пространства.

Шестой семестр - алгебраическая геометрия.
Симплектические многообразия, кэлеровы многообразия,
комплексные многообразия, разложение Ходжа.
Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика.
Теорема Лефшеца о действии SL(2) на когомологиях,
голоморфные расслоения, связность Черна и ее кривизна,
теорема Кодаиры-Накано о занулении когомологий
и теорема Кодаиры о проективности.

Привет