Все, в общем, правильно. Только одно "но": если в школе учить сразу современной науке, не основываясь на том, откуда она "вышла", то никто ничего не поймет, в лучшем случае будут зазубривать как "Отче наш", без всякого понимания (ровно это и произошло с учебником Колмогорова). А те, кто поймет сразу (или сделает вид, что понял) -- вовсе не обязательно сильные математики, а просто у них так голова устроена, что они всякую словесную муть быстрее усваивают, без глубокого понимания. Я помню, в учебнике Погорелова свойства равнобедренного треугольника доказывали при помощи перестановки букв; дескать, если треугольник АВС равнобедренный, то АВС=АСВ, ну и углы тогда равны. Все верно, вроде бы, но только пока треугольник из бумажки не вырежешь и не попереворачиваешь, ничего не поймешь, а об этом в учебнике ни слова. У нас в классе этим доказательством пользовались только девочки-зубрилки, которые в остальном ничегошеньки не понимали, просто память была хорошая. Или вот еще пример: доводилось беседовать с учеником, который самые простые геометрические факты, вроде теоремы о высотах, выводит из каких-то свойств проективной плоскости, не понимая, что на самом деле проективная плоскость нужна для систематизации этих фактов и их обобщения, а не для выведения очередного утверждения, аналогичного теореме Фейербаха.

Есть, конечно, и другая крайность, когда школьников натаскивают на решение задач, пихают в них какие-то кусочки из современной науки, приспособленные под олимпиадный стиль, а саму науку учат презирать (есть такие олимпиадные тренеры). Кстати. та же проективная геометрия -- яркий пример. Есть куча олимпиадных задач, "берущихся" с ее помощью, так что это теперь предмет изучения на многих олимпиадных кружках. Потом из таких школьников вырастают странные личности -- могущие доказать на 1-2 курсе какую-нибудь сложную теорему "дедовскими" методами, но не способные разобраться с теорией определителей, не говоря про более серьезные разделы. Кстати, у вас в вышке таких таких студентов тоже хватает.

Так что самое сложное в учебнике геометрии -- показать, как современная наука проистекает из традиционной, понятной необразованному человеку (каковым по определению является школьник), как понимание математической сути предмета позволяет облегчить доказательство. А пока все, что я видел -- радикальные предложения, аналогичные предложению Дьедонне заменить евклидову геометрию сразу на линейную алгебру. Нет, дети, конечно, все это вызубрят, не вопрос. Только кто из них это поймет? Ведь недаром линейная алгебра появилась на 2000 лет позже, значит не так все в ней просто. Недаром, настоящий аксиоматический метод (в современном понимании, "Начала" Евклида -- никакой не аксиоматический курс) появился лишь при Гильберте, не такой он простой. (Интересно, сколько из студентов-математиков понимают его на 1, 2, и т.д. курсах? Никогда не поверю, что все выдающиеся современные математики уже в школе все понимали.) Да и аксиомы той же линейной алгебры берутся, в общем, не "с потолка", а что-то обобщают. И как их поймешь, если не знать, откуда они произошли?

Вот если бы появился учебник, который помогал преодолеть этот пробел, подвести школьника к пониманию современной науки... Но это пока только мечты.

Вы говорите, как достаточно опытный математик, каковым школьник не является по определению. Идея преобразования и инвариантов преобразования, о которой вы говорите (в вашем случае -- аффинного преобразования) -- достаточно сложная, не многие дети, даже впоследствии оказывающиеся весьма сильными, усваивают ее сразу. Так что, не споря с тем, что ваш метод -- хороший и полезный, не могу согласиться с тем, что он может сразу заменить традиционный (тем более, что у тех же медиан есть масса других свойств, которые такими методами "не берутся").

Учебник Прасолова и Тихомирова хорош всем, кроме того, что он не предназначен для школьников, да и вообще начинается с метода координат, а значит примерно у половины учеников, которым алгебра уже успела поднадоесть, вызовет отторжение.

Ну, мне приходилось рассказывать про движения и их свойства (теорема Шаля, композиция поворотов и т.п.) детям, достаточно хорошо подготовленным, к тому же. Примерно половина с ходу понимала только определение движения. Все дело, очевидно, в том (поправьте, пожалуйста, если это не так), что со взрослыми вы общались один на один, а учитель в классе вынужден общаться с 20-30 детьми одновременно, и в лучшую сторону они от этого отличаться не начинают.

Идея инварианта, сама по себе, наверное не сложная. наоборот, она обманчиво простая, и поэтому у детей складывается неправильное впечатление, что ее можно применять всюду и всегда. Они не думают, что у разных преобразований -- разные инварианты, в результате пытаются доказать с помощью тех же аффинных преобразований теорему о высотах.

Есть и другая опасность: иногда от простой идеи до строгого доказательства надо проделать весьма длинный путь, и этому тоже надо учить детей. Мне, например, приходилось сталкиваться с таким вот рассуждением, связанным с теоремой Понселе для треугольника: пространство треугольников, дескать, трехмерное, а пространство пар вписанных и описанных окружностей -- двумерное, а значит прообраз каждой пары -- целая кривая в пространстве треугольников. Это, конечно, все верно, но это не совсем то, о чем говорится в теореме Понселе; чтобы ее полностью доказать надо еще много чего сделать. И авторы этого рассуждения все это прекрасно понимают. Зато школьники склонны принимать все на веру и не видят возникающих пробелов -- довольно опасное качество для математиков, не говоря уже про более приземленные профессии, вроде инженера.

Знаете, с детьми сложно -- только они видят какой-то новый способ решения задач, который им кажется проще предыдущих, они начинают думать, что это именно панацея. Переубедить их совсем не просто.

Вам, наверное, виднее, что нужно инженерам, только сдается мне, что инженеру надо иногда все-таки доводить свои эвристические рассуждения до конца, иначе мосты рушиться будут каждый день.