Настроение:	tired
Музыка:	Summoning -- Let Mortal Heroes Sing Your Fame
Entry tags:	hse, math

"темы курсовых"

Ежегодная развлекуха: в служебные
обязанности преподавателя матфака входит
составление "темы курсовых", каждый год, а
студенты обязаны с первого курса ежегодно
сочинять эти самые курсовые.

Выродил очередной наборчик.

1-Й КУРС

А. Топологическая группа есть топологическое пространство
G с заданной на нем групповой операцией, такая, что
умножение GxG -> G и взятие обратного
непрерывны. Пусть G -- компактная, связная топологическая
группа, причем для какого-то t, множество t, t^2, t^3,
t^4, ... плотно в G. Докажите, что G изоморфно тору.

Б. Постройте счетное, связное хаусдорфово топологическое
пространство. Может ли оно быть компактно? Решение лучше
поискать в литературе (Гуглем, например), самостоятельно
найти такую штуку будет трудно.

В. Дифференцирования кольца A -- отображения
из кольца в себя, удовлетворяющие тождеству Лейбница
$d(xy) = d(x) Y + x d(y)$. Пусть A -- кольцо гладких
функций на $\R^n$. Докажите, что модуль дифференцирований
изоморфен свободному модулю $A^n$.

Г. {\bf Топологическое кольцо} есть кольцо, где
задана топология, причем умножение и сложение непрерывны.
{\бф Локальное поле} есть локально-компактное
топологическое кольцо с делением. Докажите, что
любое локальное поле характеристики 0 есть конечное расширение
p-адического поля $\Q_p$ либо $\R$.

2-Й КУРС

А. Докажите, что группа изометрий компактного риманова
многообразия -- компактная группа Ли.

Б. Аменабельная группа есть группа G, снабженная
инвариантной аддитивной положительной мерой на кольце всех
подмножеств (можно считать, что мера G равна 1). Докажите,
что Z^n аменабельна, а свободная группа F_n от двух и
более образующих не аменабельна. Докажите, что группа,
содержащая F_2, не аменабельна.

В. Докажите "альтернативу Титса": если группа Ли не
разрешима, она содержит свободную группу F_2. Решение
поищите в литературе, если не получается.

Г. Постройте меру Хаара (нетривиальную
левоинвариантную борелевскую меру) на
локально компактной топологической группе.
Используя меру Хаара, докажите, следующую
теорему фон Ноймана: любая компактная группа,
которая гомеоморфна многообразию, является
группой Ли. Следует пользоваться
книгой Тао о 5-й проблеме Гильберта.

Д. Изучите категорную версию теории Галуа,
принадлежащую Гротендику (гуглить на "Galois
cathegories"). Пусть $M$ -- метрическое пространство.
Рассмотрим топологию на фундаментальной группе $M$,
индуцированную топологией равномерной сходимости
в пространстве петель. Надо определить категорию Галуа
"топологических накрытий" таким образом, чтобы связные
накрытия в этой категории соответствовали замкнутым
подгруппам в топологической группе Галуа. Эта работа
имеет научный смысл и может быть опубликована.

3-й, 4-й курс, магистратура.

А. Если вы не знаете определение орбиобразия, найдите в
литературе. Определите неразветвленное накрытие
орбиобразий. Найдите все двумерные орбиобразия, не
допускающие неразветвленных, гладких накрытий
(указание: все они рода 0 и 1). Решение этой задачи можно
поискать в Гугле, спросить у кого-нибудь, либо сделать
самостоятельно.

Б. Пусть G -- компактная группа Ли с левоинвариантной
римановой метрикой $g_0$. Решите уравнение потока Риччи
$g_t' = - 2\Ric(g_t)$ в классе левоинвариантных
метрик. Найдите, к чему сходится.

В. Плоское аффинное многобразие есть фактор открытого
подмножества U в R^n по дискретной группе аффинных
преобразований. Геодезическая плоского аффинного
многообразия есть образ прямой из U. Докажите,
что каждое плоское аффинное компактное многообразие
содержит плотную геодезическую.

Г. Докажите теорему Бибербаха (18-я проблема
Гильберта). Если $M$ -- компактное риманово многообразие с
плоской метрикой, то у $M$ есть накрытие, изометричное
плоскому тору. Решение этой задачи можно поискать в Гугле.

Д. Пусть g -- вещественная алгебра Ли. Комплексная
структура на g есть подалгебра $g^{1,0}\subset g\otimes
\C$ такая, что $g^{1,0}$ не содержит вещественных векторов
и ее комплексная размерность равна $1/2\dim_\R g$.
Пусть g нильпотентная алгебра Ли, n ее размерность, а m --
длина центрального ряда. Докажите, что для вещественной
алгебры Ли, допускающей комплексную структуру,
$m \leq \lambda n$, для какой-то константы
$\lambda <1$. Ответ к этой задаче науке неизвестен,
и заслуживает публикации в приличном журнале.

Е. В задаче про комплексные структуры на нильпотентных
алгебрах Ли, оцените константу $\lambda$ посредством
компьютерного перебора нильпотентных алгебр Ли
ограниченной размерности.

4-й курс, магистратура.

А. Пусть $A$ -- дифференциальная градуированная алгебра, а
$G$ -- алгебра верхнетреугольных матриц с коэффициентами в $A$.
"Обобщенные произведения Масси" (по Бабенко-Тайманову,
arXiv:math/9911132) суть препятствия к почленному
формальному решению уравнения Маурера-Картана
$\gamma^2 = - d\gamma$. Теперь, возьмем в качестве
$A$ комплекс де Рама для нильпотентной алгебры Ли.
Вознимают три задачи, одна проще, две труднее.
Во-первых, доказать, что для неабелевой нильпотентной
алгебры обобщенные произведения Масси нетривиальны.
Во-вторых, выяснить, для каких неабелевых нильпотентных
алгебр Ли обычные (трехчленные) произведения Масси всегда
тривиальны, и существуют ли такие алгебры Ли. В третьих,
восстановить нильпотентную алгебру Ли по ее обобщенным
произведениям Масси, или убедиться, что это невозможно.
Последне две задачи в случае успеха заслуживают публикации.