tiphareth: Основные понятия математики

Настроение:	sick
Музыка:	Гражданская Оборона - РУССКИЙ ПРОРЫВ В КИЕВЕ
Entry tags:	hse, math

Основные понятия математики
В Вышке реформы, одна другой
страшнее. Одна из реформ: каждый
студент на 2-3 курсе обязан выбрать
себе "майнор", вторую специализацию
на другом факультете. На матфаке
разрабатывается майнор в жанре
"математика для компьютерщиков
и гуманитариев", я сочинил программу
первого семестра (из четырех).

Основные понятия математики.

1. Формальный метод Гильберта: системы аксиом евклидовой
геометрии от Евклида до Гильберта и Колмогорова.

2. Простейшие аксиоматические структуры. Группы, кольца, поля.

3. Множества, функции. Соотношения эквивалентности и порядка.
Аксиомы Пеано и метод математической индукции.

4. Основы комбинаторики. Отображения конечных множеств.
Принцип Дирихле и биномиальные коэффициенты.

4. Счетные множества, несчетные множества.
Диагональный метод Кантора и парадоксы наивной теории множеств.

5. Формальная теория множеств (обзор). Теорема Кантора-Бернштейна.
Континуум-гипотеза и теорема Геделя (обзор).

6. Аксиоматика вещественных чисел (сечения Дедекинда,
последовательности Коши). Апория Зенона об Ахиллесе
и черепахе. Сходимость рядов. Критерии сходимости.

7. Линейная алгебра: аксиомы линейного пространства,
линейные операторы, базисы, размерность.

8. Алгебры: комплексные числа, алгебра матриц.
Алгебры, порожденные образующими и соотношениями.
Кватернионная алгебра. Полиномиальная алгебра.
Алгебра Грассмана.

9. Группа движений плоскости и ее интерпретация в
терминах комплексных чисел.

10. Группа движений пространства и ее интерпретация в
терминах кватернионов. Повороты и векторные произведения.

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

	andrey_off 2014-10-26 00:10 (ссылка)
	дык LU decomposition. это все есть в GSL library: http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/LU-Decomposition.html#LU-Decomposition 250x300 это игрушечный размер. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	wieiner_ 2014-10-26 00:17 (ссылка)
	мдамс..треугольные матрицы..Грамм-Шмидт и все эти uppertriangular. я например видел в MIT 18.085 lecture №3. на ocw.mit.edu (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	andrey_off 2014-10-26 00:19 (ссылка)
	с треугольными матрицами можно и без MIT разобраться. (Ответить) (Уровень выше)

	wieiner_ 2014-10-26 00:19 (ссылка)
	http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-085-computational-science-and-engineering-i-fall-2008/video-lectures/lecture-3-solving-a-linear-system/ (Ответить) (Уровень выше)

rafail.livejournal.com
2014-10-26 00:33 (ссылка)

250х300 это же недоопределенная система, какое LU. Ему нужно будет сначала определить нуль-пространство матрицы, а потом искать комплемент решения вне этого пространства, который проектируется на правую часть, например путем построения пространства Крылова.

Какие же тупые уебки кругом, просто дико бесит иногда

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

wieiner_
2014-10-26 00:40 (ссылка)

верно, совсем тупые:

Неопределённой системе линейных уравнений соответствует прямоугольная матрица коэффициентов M x N (M<N, где M - количество строк, N - количество столбцов). Такая система либо имеет бесконечное число решений, либо не имеет решений вовсе.

(Ответить) (Уровень выше)

	wieiner_ 2014-10-26 00:41 (ссылка)
	я что-то прощелкал, что она не квадратная.. (Ответить) (Уровень выше)

	wieiner_ 2014-10-26 00:46 (ссылка)
	к тому же этот нехороший человек поставил знак ~ , что означает "примерно". 250х300, может он имел ввиду, что от 250х250 до 300х300. ну фикего знает.. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	fargo87.livejournal.com 2014-10-26 01:05 (ссылка)
	Сорри, имел ввиду действительно 250x300, но прочитав предыдущий комментарий, решил что проще будет преобразовать до квадратной. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	andrey_off 2014-10-26 01:24 (ссылка)
	вот да, я довольно часто встречал линейные системы в прикладных задачах и всегда они были квадратные, поэтому даже и не подумал о неквадратной системе. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

fargo87.livejournal.com
2014-10-26 01:48 (ссылка)

Спасибо за совет, я вообще не смотрел прямые методы, так как считал что для моей задачи (постоянно меняется правая часть и мы пересчитываем для нее корни) лучше подойдет итерационный. Но похоже для такого типа задач лучше как раз LU, тк мне будет достаточно разложить матрицу 1 раз.

(Ответить) (Уровень выше)

rafail.livejournal.com
2014-10-26 02:46 (ссылка)

А что это изменит? Если задача та же, то и решение остается таким же, даже если вы каким-то образом дополнили систему до квадратной. Или вы хотите изначальную задачу на какую-то другую подменить, у которой решение существует при любой правой части и притом единственное? Ну так это будет другая задача, и другое решение.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	fargo87.livejournal.com 2014-10-26 03:31 (ссылка)
	Все верно, фактически я поменяю изначальную задачу, чтобы получить квадратную матрицу. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

rafail.livejournal.com
2014-10-26 03:45 (ссылка)

Вам нужна не просто квадратная матрица, а квадратная матрица, для которой решение существует при любой правой части (иначе вы не сможете применить стандартный метод решения типа LU). Я не знаю ничего про вашу изначальную задачу, кроме того, что она недоопределена и поэтому никогда не имеет единственного решения. Поэтому интересен вопрос, что это такая за задача, чтобы ее можно было преобразовать в квадратную, так чтобы та имела единственное решение.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

fargo87.livejournal.com
2014-10-26 04:53 (ссылка)

Мне нужно учесть влияние пространственного заряда на движение электронов в прямоугольном волноводе. Для того чтобы выполнялись граничные условия (отсутствие тангенциальной напряженности у поверхности проводника) я использовал фиктивные заряды, величину и координаты которых рассчитывал с помощью метода изображений. Так как у нас 4 проводящих поверхности, на каждый электрон приходилось несколько десятков изображений, что дало в сумме огромное время счета. Тогда руководитель посоветовал мне использовать метод Овчарова, суть которого заключается в том, что мы покрываем проводящую поверхность сеткой, за пределами волновода размещаем систему зарядов(qij), величины которых должны быть подобраны таким образом, чтобы в сумме с электронами внутри волновода, на его поверхности (в узлах сетки) они создавали постоянный потенциал. На основе этого можно составить уравнение для каждого узла - в его правой части будет суммарный потенциал создаваемый в узле электронами внутри объема, в левой части сумма qij/rij^2, где qij - величина заряда, которую необходимо рассчитать, а rij - расстояние от узла до заряда. Если кол-во внешних зарядов равно количеству узлов, то система уравнений образует квадратную матрицу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

rafail.livejournal.com
2014-10-26 07:01 (ссылка)

Ок, я что-то очень отдаленно понимаю, о чем речь. Если у вас есть возможность выбирать положения узлов и зарядов, постарайтесь сделать так, чтобы матрица обратных квадратов расстояний между узлами и зарядами была симметрична и положительно определена - это даст возможность использовать разложение Холески вместо LU, которое быстрее и устойчивее.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	wieiner_ 2014-10-26 09:59 (ссылка)
	еще есть метод Левинсона - он еще быстрее, но матрица должна быть диагональной. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%A2%D1%91%D0%BF%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B0 (Ответить) (Уровень выше)

	fargo87.livejournal.com 2014-10-26 11:49 (ссылка)
	Большое спасибо за советы. (Ответить) (Уровень выше)

	wieiner_ 2014-10-26 09:55 (ссылка)
	желательно, чтобы это была не только квадратная, но и положительно определенная матрица. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	fargo87.livejournal.com 2014-10-26 12:23 (ссылка)
	Спасибо! (Ответить) (Уровень выше)

	wieiner_ 2014-10-26 00:49 (ссылка)
	ну извини, не бесись.. )))) (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -