tiphareth: Закончил читать эргодическую теорию

Настроение:	sick
Музыка:	``Резервация здесь'' Концерт-презентация книги ``Формейшен'' Дк Трехгорка
Entry tags:	.br, math

Закончил читать эргодическую теорию
Закончил читать эргодическую теорию
http://www.verbit.ru/IMPA/Ergodic-2017/
осталось сделать задачи для экзамена, пока готово 36,
а нужно не меньше 48, а лучше 60. Кстати, буду
признателен за идеи по задачам (уровня немного проще
студенческих олимпиад). Студенты, конечно, потрясающе
хороши, в Москве таких нет в общем, то есть мотивации
нереальной. Правда, ничего не знают, ну типа - заканчивают
аспирантуру и не слышали про фундаментальную группу.
Но осваивают очень быстро, так что все ок.

Очень жалею, что мало использовал учебник Макмуллена
Curtis MacMullen, Hyperbolic manifolds, discrete groups and ergodic theory.
http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/class/notes/ergodic/course.pdf
он потрясающе хорош.

Другая книжка, которая тоже потрясающе хороша (но я ее использовал)
Operator Theoretic Aspects of Ergodic Theory, by Eisner, T., Farkas, B., Haase, M., Nagel, R.
http://www.math.uni-leipzig.de/~eisner/book-EFHN.pdf

Хотя в любом случае, надо все самому передоказывать, без этого непонятно.
Но хорошие книжки по крайней мере сообщают, что именно доказывать, и
примерно как это доказывается.

Привет

(Добавить комментарий)

	(Анонимно) 2017-12-06 01:20 (ссылка)
	мысленно вместе (Ответить)

	grigori 2017-12-06 03:13 (ссылка)
	у меня на первом курсе была курсовая про среднее геометрическое элементов цепной дроби (https://en.wikipedia.org/wiki/Khinchin%27s_constant), подойдёт? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-12-06 03:37 (ссылка)

мне для экзамена нужно, однако
типичные образчики

\exercise[20 points]
Let $A:\;T^n \arrow T^n$ be given by a matrix $A\in GL(n, \Z)$.
Prove that $A$ preserves the usual measure.
Prove that $A$ is mixing if and only if
none of the eigenvalues of $A$ is a root of unity.
\ez

\exercise[20 points]
Consider the map $T(x)=4x(1-x)$ from the interval $[0,1]$ to itself,
Prove or disprove that $T$ is uniquely ergodic.
\ez

\exercise[20 points]
Let $f:\; M \arrow M$ be an isometry of a compact metric space. Assume that
$\mu$ is a finite, uniquely ergodic measure on $M$. Prove that support
of $\mu$ is $M$.
\ez

\exercise[20 points]
Let $f:\; M \arrow M$ be an isometry of a non-compact metric space. Assume that
$\mu$ is a finite, uniquely ergodic measure on $M$. Prove that support
of $\mu$ is $M$, or find a counterexample
\ez

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2017-12-06 03:50 (ссылка)
	ну они же знают теорему биркгофа, так что это тоже упражнение (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-12-06 04:25 (ссылка)

там придется доказывать эргодичность отображения гаусса, нунах
самостоятельно они это не сделают, а пойдут в гугль, оно там гуглится
за 5 минут, то есть задача на пользование гуглем и только

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2017-12-06 05:35 (ссылка)
	а что, у 4x(1-x) проще это проверить? ну то есть может и да, я не знаю (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-12-06 05:51 (ссылка)
	убрал, действительно нездоровая задача (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2017-12-06 05:52 (ссылка)
	нет, совсем простая все-таки (Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2017-12-06 04:27 (ссылка)

теорему биркгоффа даже я не знаю, то есть прилежно выучил все доказательства
и потом придумал свое собственное, такое же кривобокое,
и все равно не верю в нее до такой степени, что
даже в курсе ни разу не применял

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2017-12-06 05:35 (ссылка)
	это да (Ответить) (Уровень выше)

oort
2017-12-07 00:31 (ссылка)

а у тебя была задача типа такого?:

рассмотрим автоморфизм тора вида (\lambda, \lambda^{-1})
показать, что он эргодический.

еще про сдвиги бернулли наверное можно, если в курсе их не было:
определить пространство бернулли и сдвиг и попросить доказать, что сдвиг эргодичный.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	oort 2017-12-07 00:38 (ссылка)
	а, про бернулли было, конечно но про аносовский автоморфизм тора кажется нет (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-12-07 02:47 (ссылка)
	было, конечно лекция 7, лекция 17 (два разных доказательства) и еще где-то (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	oort 2017-12-07 02:50 (ссылка)
	ага, в экзамене тоже (3.4) задача где надо доказать что автоморфизм mixing тогда и только тогда когда собств значения не корни из единицы (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2017-12-07 02:46 (ссылка)
	само собой было много раз, с разными доказательствами >определить пространство бернулли и сдвиг и попросить доказать, что сдвиг эргодичный. тоже было, с несколькими разными доказательствами (Ответить) (Уровень выше)

	bananeen 2017-12-07 03:21 (ссылка)
	Миша, ссылки на лекции 14-15 выводят на одну и ту же лекцию (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-12-07 05:28 (ссылка)
	спасибо! Поправил (Ответить) (Уровень выше)