Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2017-12-05 18:26:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:``Резервация здесь'' Концерт-презентация книги ``Формейшен'' Дк Трехгорка
Entry tags:.br, math

Закончил читать эргодическую теорию
Закончил читать эргодическую теорию
http://www.verbit.ru/IMPA/Ergodic-2017/
осталось сделать задачи для экзамена, пока готово 36,
а нужно не меньше 48, а лучше 60. Кстати, буду
признателен за идеи по задачам (уровня немного проще
студенческих олимпиад). Студенты, конечно, потрясающе
хороши, в Москве таких нет в общем, то есть мотивации
нереальной. Правда, ничего не знают, ну типа - заканчивают
аспирантуру и не слышали про фундаментальную группу.
Но осваивают очень быстро, так что все ок.

Очень жалею, что мало использовал учебник Макмуллена
Curtis MacMullen, Hyperbolic manifolds, discrete groups and ergodic theory.
http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/class/notes/ergodic/course.pdf
он потрясающе хорош.

Другая книжка, которая тоже потрясающе хороша (но я ее использовал)
Operator Theoretic Aspects of Ergodic Theory, by Eisner, T., Farkas, B., Haase, M., Nagel, R.
http://www.math.uni-leipzig.de/~eisner/book-EFHN.pdf

Хотя в любом случае, надо все самому передоказывать, без этого непонятно.
Но хорошие книжки по крайней мере сообщают, что именно доказывать, и
примерно как это доказывается.

Привет



(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2017-12-06 00:20 (ссылка)
мысленно вместе

(Ответить)


[info]grigori
2017-12-06 02:13 (ссылка)
у меня на первом курсе была курсовая про среднее геометрическое элементов цепной дроби (https://en.wikipedia.org/wiki/Khinchin%27s_constant),
подойдёт?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-06 02:37 (ссылка)
мне для экзамена нужно, однако
типичные образчики


\exercise[20 points]
Let $A:\;T^n \arrow T^n$ be given by a matrix $A\in GL(n, \Z)$.
Prove that $A$ preserves the usual measure.
Prove that $A$ is mixing if and only if
none of the eigenvalues of $A$ is a root of unity.
\ez

\exercise[20 points]
Consider the map $T(x)=4x(1-x)$ from the interval $[0,1]$ to itself,
Prove or disprove that $T$ is uniquely ergodic.
\ez



\exercise[20 points]
Let $f:\; M \arrow M$ be an isometry of a compact metric space. Assume that
$\mu$ is a finite, uniquely ergodic measure on $M$. Prove that support
of $\mu$ is $M$.
\ez

\exercise[20 points]
Let $f:\; M \arrow M$ be an isometry of a non-compact metric space. Assume that
$\mu$ is a finite, uniquely ergodic measure on $M$. Prove that support
of $\mu$ is $M$, or find a counterexample
\ez

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2017-12-06 02:50 (ссылка)
ну они же знают теорему биркгофа, так что это тоже упражнение

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-06 03:25 (ссылка)
там придется доказывать эргодичность отображения гаусса, нунах
самостоятельно они это не сделают, а пойдут в гугль, оно там гуглится
за 5 минут, то есть задача на пользование гуглем и только

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2017-12-06 04:35 (ссылка)
а что, у 4x(1-x) проще это проверить? ну то есть может и да, я не знаю

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-06 04:51 (ссылка)
убрал, действительно нездоровая задача

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-12-06 04:52 (ссылка)
нет, совсем простая все-таки

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-12-06 03:27 (ссылка)
теорему биркгоффа даже я не знаю, то есть прилежно выучил все доказательства
и потом придумал свое собственное, такое же кривобокое,
и все равно не верю в нее до такой степени, что
даже в курсе ни разу не применял

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2017-12-06 04:35 (ссылка)
это да

(Ответить) (Уровень выше)


[info]oort
2017-12-06 23:31 (ссылка)
а у тебя была задача типа такого?:

рассмотрим автоморфизм тора вида (\lambda, \lambda^{-1})
показать, что он эргодический.

еще про сдвиги бернулли наверное можно, если в курсе их не было:
определить пространство бернулли и сдвиг и попросить доказать, что сдвиг эргодичный.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]oort
2017-12-06 23:38 (ссылка)
а, про бернулли было, конечно

но про аносовский автоморфизм тора кажется нет

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-07 01:47 (ссылка)
было, конечно
лекция 7, лекция 17 (два разных доказательства)
и еще где-то

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]oort
2017-12-07 01:50 (ссылка)
ага, в экзамене тоже (3.4)
задача где надо доказать что автоморфизм mixing тогда и только тогда когда собств значения не корни из единицы

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-12-07 01:46 (ссылка)
само собой
было много раз, с разными доказательствами

>определить пространство бернулли и сдвиг и попросить доказать, что сдвиг эргодичный.

тоже было, с несколькими разными доказательствами

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bananeen
2017-12-07 02:21 (ссылка)
Миша, ссылки на лекции 14-15 выводят на одну и ту же лекцию

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-07 04:28 (ссылка)
спасибо! Поправил

(Ответить) (Уровень выше)