Спасибо! Я добавил исправления.

> Не очень понятно, как правильно
> называть элемент алгебры. Везде идет
> название "вектор", но при этом же
> получается, что мы забываем про
> структуру алгебры? Как вообще принято
> называть?

Мне самому интересно.
Вектор, наверное. Или элемент.
Элемент алгебры Клиффорда - мультивектор,
элемент алгебры Грассмана - форма или мультивектор,
элемент (пара-)кватернионов - (пара-)кватернион.

> Определение 6.1. Хорошо бы сказать, что A^I
> -- алгебры, и написать, какие значения i
> принимает.

Это как? Что $i$ пробегает $\Z$ - это действительно
нужно написать.

Все остальное исправил - спасибо

Такие дела
Миша

> Вектор, наверное. Или элемент.

Может, писать везде единообразно "элемент"? Чтобы путаницы не возникало?
Называть везде "мультивектор" плохо, потому что алгебры рассматриваются не только тензорные.

> Это как? Что $i$ пробегает $\Z$ - это действительно нужно написать.

Я имею в виду, что в предыдущем листке было важно, i пробегает N или N+{0}. Здесь тоже может быть не обязательно все Z, поэтому о том, что $i$ пробегает $\Z$, человек может и не догадаться.

Вообще я раньше сталкивалась с определением градуированной алгебры как функции из алгебры в Z. Там сразу понятно, что градуировка не обязательно все целые значения принимает. В вашем определении это не очевидно, так как про то, что некоторые алгебры в определении могут быть пустыми, не сказано. Поэтому сразу неочевидно, что, например, тензорная алгебра является частным случаем этого определения. Лучше, наверное, это особо отметить (или изменить определение).

Еще интересно, рассматриваются ли градуированные алгебры с градуировкой не в Z, а в какое-то другое кольцо? Например, в Z_p, Q или R?

> а в какое-то другое кольцо

Опечатка, конечно, имелась в виду группа.

>Может, писать везде единообразно "элемент"?
>Чтобы путаницы не возникало?

Пусть лучше привыкают. В научном тексте терминология
всегда неконсистентна, и понимать ее - одна из вещей,
которой надо учиться.

> Вообще я раньше сталкивалась с определением
>градуированной алгебры как функции из алгебры в Z. Там
>сразу понятно, что градуировка не обязательно все целые
>значения принимает. В вашем определении это не очевидно,
>так как про то, что некоторые алгебры в определении могут
>быть пустыми, не сказано. Поэтому сразу неочевидно, что,
>например, тензорная алгебра является частным случаем этого
>определения. Лучше, наверное, это особо отметить (или
>изменить определение).

Градуировка - конечно, не функция в Z (градуировку
имеют только элементы чистой градуировки, их суммы
уже не имеют). Можно определять градуировку
(и это часто делается) как
действие группы U(1) (весовые пространства веса i
задают разложение алгебры в прямую сумму).

>Лучше, наверное, это особо отметить

Ага! поправил.

>Еще интересно, рассматриваются ли градуированные
>алгебры с градуировкой не в Z, а
>в Z_p, Q или R?

В Z/2Z - постоянно. В Z_p, Q или R - достаточно редко,
зато биградуировка (градуировка, проиндексированная
группой Z\times Z) - постоянно рассмотривается,
это типа то место, с которого начинается
определение спектральной последовательности
(в одной из версий).

Такие дела
Миша

> Пусть лучше привыкают. В научном тексте терминология
> всегда неконсистентна, и понимать ее - одна из вещей,
> которой надо учиться.

Мне все же кажется, что в "основном учебнике" все должно быть написано по возможности четко и с единой терминологией (возможно, c упоминанием других встречающихся названий вводимых понятий). А с использованием различной терминологии они и так столкнутся (уже на первом курсе сталкиваются с терминологией, отличной от школьной). Но все-таки эта чехарда не в пределах одной книги должна быть. Вы же писали, что собираетесь в итоге составить учебник.
ИМХО :-)

> биградуировка (градуировка, проиндексированная группой Z\times Z)

Это же фактически получается просто две независимых градуировки, да?

Еще вот подумала, что можно дать задачу на то, когда алгебра Клиффорда является градуированной (получается, что только когда она Грассмана, а иначе градуировка только в Z_2, тут они сами до этой Z_2-градуировки и додуматься могут).