> Там было что-то, но коллега убрал за банальностью.
> \begin{ukazanie}

Теперь поняла. Мне кажется, это не очень банально, лучше указание оставить.

> В типичной ситуации, $P$ состоит из двух точек.
> Я не очень понимаю, как этому помогает наследственность.

Я имела в виду, что безотносительно к данной задаче само это понятие полезно, мне кажется (но я тут не специалист, разумеется), и полезно иметь навык перехода от рассмотрения пространства к рассмотрению подпространства, забывая о том, что было в надпространстве (и в предыдущих листках некоторое количество задач проще было решать таким образом).

В данной же задаче мы получили вполне несвязное пространство P, причем любое открытозамкнутое его подмножество, содержащее х, совпадает со всем P. Поскольку P к тому же компактное и хаусдорфово, то неодноточечность P противоречит предыдущей задаче. При этом становится излишней вторая половина вашего указания. Или я опять что-то путаю?

За список книг спасибо, но я имела в виду, что надо вставить в листки, чтобы все студенты знали, что читать. А сын приезжал на праздники домой и увез в Москву "Общую топологию" Келли (старое издание), в Вашем списке ее нет -- она меньше подходит, чем те книги по топологии, которые Вы перечислили?

Я посмотрел про Громова!

Вот правильное утверждение

>A space C of compact metric spaces is Gromov-Hausdorff precompact
>if and only if for every \epsilon > 0, any X \in C can be covered
>by the same number of \epsilon-balls.

http://www.ams.org/bull/2001-38-03/S0273-0979-01-00904-1/S0273-0979-01-00904-1.pdf

Условие об \epsilon-шарах как раз для того,
чтобы не брать предела N-симплексов при N\arrow \infty
(поскольку такого предела очевидно нет). Для многообразий
ограниченной кривизны Риччи и объема это условие
тривиально соблюдается, ибо объем \epsilon-шара
ограничивается его кривизной Риччи.

При применении к графам Кэли группы,
получается, что предел определен,
если потребовать дополнительных условий
от группы (полиномиального роста).
А поскольку свободная группа такого
ограничения не имеет, предела там и нет.

> причем любое открытозамкнутое его
>подмножество, содержащее х, совпадает со всем P

Но открытозамкнутые подмножества P могут не
иметь никакого отношения к открытозамкнутым
подмножествам M. Можно построить метрическое
пространство, у которого пересечение
открытозамкнутых подмножеств, содержащих
данную точку, это две точки.

>А сын приезжал на праздники домой и увез в Москву
>"Общую топологию" Келли (старое издание),
>в Вашем списке ее нет -- она меньше
>подходит, чем те книги по топологии,
>которые Вы перечислили?

Думаю, что меньше подходит, хотя
книжка хорошая. Вообще в моих листочках
больше общей топологии, чем знают почти
все математики и большинство топологов.
Общая топология - наука ныне практически
забытая.

Такие дела
Миша

>if and only if for every \epsilon > 0, any X \in C can be covered
>by the same number of \epsilon-balls.

Ну так это совсем другое дело! Получается что-то типа равномерной ограниченности. В такой формулировке внутреннего чувства противоречия не возникает :-)

> Но открытозамкнутые подмножества P могут не
> иметь никакого отношения к открытозамкнутым
> подмножествам M.

А, поняла. Я тогда почему-то подумала, что все открытозамкнутые подмножества P получаются пересечением P c открытозамкнутыми подмножествами М, а это, конечно, неверно.
Тогда к указанию к этой задаче следующие замечания:

В "Выведите из предыдущей задачи, что $U_1 \cup U_2$ содержит открытозамкнутое подмножество $W\subset M$" надо добавить условие, что W содержит P (или x, без разницы).

В "$W\cup U_i$" надо объединение заменить на пересечение.

> Вообще в моих листочках
> больше общей топологии, чем знают почти
> все математики и большинство топологов.

Хм. Те листочки, которые у вас пока выложены, -- ЕМНИП мы все это проходили на курсе топологии (на первом или втором курсе, не помню, один семестр был или два). Ну может какие-то отдельных узких задач не было, а вместо них было что-то другое. То, что в Геометрии 8, у нас на функане, кажется, было. Так что это Ваше утверждение не совсем истинно. И уж конечно наши топологи знают гораздо больше :-) Тем более что они активно в области общей топологии работают (хотя в основном там вроде бы пространствами отображений занимаются). Вот посмотрела на институтском сайте про этот отдел: "В области топологии основные темы - непрерывные отображения и пространства непрерывных отображений, бэровские функции и бэровские изоморфизмы".

>Ну так это совсем другое дело! Получается
>что-то типа равномерной ограниченности. В такой
>формулировке внутреннего чувства противоречия не
>возникает

Прошу прощения. Дело в том, что это применяется
в основном для многообразий с ограниченной кривизной
Риччи (как, например, в доказательстве Перельмана
гипотезы Пуанкаре, и в недавних работах Концевича),
а там эта оценка автоматически возникает. У Громова
ж в книжке все чудовищно мутно написано.

>Те листочки, которые у вас пока выложены, --
>ЕМНИП мы все это проходили на курсе
>топологии (на первом или втором курсе,
>не помню, один семестр был или два).
>И уж конечно наши топологи знают
>гораздо больше

Вообще-то в России общую топологию и выдумали
(в 1920-е), так что естественно, что у нас должны
больше знать, чем в Англии и Америке. Но даже
в Москве эта наука по преимуществу вымерла,
то есть людей, знающих (например), что есть
компактификация Стоуна-Чеха, я в жизни
своей не видел (ни в Москве, ни заграницей).
Или видел, но они про это крепко
молчали. Ни в одном аспирантском
экзамене в западных университетах
ничего подобного не требуется
(я это знаю, поскольку изучал
подробно экзаменационные темы
в десятке крупных университетов,
когда готовил программу по
математике).

Конечно, на кафедре общей топологии
мехмата знают, меня просто туда не
заносило.

Каледин очень ругается, что в листочках
больше общей топологии, чем даже топологи
за свою жизнь узнают. И он в каком-то
смысле прав, просто наука уж очень
красивая.

У вас наверное школа общей топологии
пока не умерла. Но это скорее исключение,
по крайней мере вне бывшего СССР.

Такие дела
Миша

У нас топология была обязательной у всех математиков матмеха, у механиков возможно и не было. Но это был 1985 год. Тогда у нас в обязательных курсах даже теория чисел была, хотя я не очень понимаю смысл (там никаких связей с ТФКП и прочей аналитикой не было, типично школьные вещи типа квадратичных вычетов и т.п.). Сейчас у нас на матмехе математическая программа ужалась, насколько я знаю. Топологию конечно жалко.
А неужели на мехмате МГУ нет обязательного курса общей топологии?

С мнением Каледина о переизбытке топологии в вашем курсе я отчасти согласна в том плане, что сейчас ситуация, когда алгебры мало, а геометрия вся -- топология. Мне кажется, было бы лучше чередовать (т.е. либо в геометрии чередовать разные темы, либо параллельно раздавать и соответствующий листки по алгебре). Если человек алгебру уже прорешал, то делать подряд 5 листков топологии может быть довольно тоскливо некоторым. Топология все-таки достаточно специфический предмет, чтобы им заниматься в режиме полного погружения, надо дать время на то, чтобы впечатления утряслись. Ну это так, ощущение, не претендующее на истинность :-)

Школа общей топологии у нас жива, но перспективы неясные в свете предстоящего закрытия академических институтов...

Именно компактификацию Стоуна-Чеха я не уверена, что знаю (хотя название знакомое), книжку сын увез -- не проверить, но какую-то компактификацию когда-то знала :-) По крайней мере Келли и еще несколько книжек по топологии я полностью читала, кое-что даже в школе. Но это было давно.

>А неужели на мехмате МГУ нет
>обязательного курса общей топологии?

Да вроде нет. И не общей тоже нет.

http://shade.msu.ru/~admin/kurs/alf.htm

>геометрия вся -- топология

Ну не вся, все-таки метрических пространств было много.
Просто ничего осмысленного в геометрии нельзя сказать,
если не известно топологии, кроме теории метрических
пространств, а она очень специальная.

>Если человек алгебру уже прорешал

Таких у нас нет - они почему-то топологию в три
раза резвее решают, чем алгебру.

>Именно компактификацию Стоуна-Чеха я не уверена, что знаю

Это такая компактификация, которая отображается
в любую другую компактификацию. Ее легко построить,
исходя из "максимальных покрытий" (задача 7.37).
Точки на бесконечности взаимно однозначно
отождествляются с максимальными покрытиями,
а их окрестности - с такими открытыми
множествами, которые не содержатся в
соответствующем покрытии. Фантастически
красивая штука, и используется в теории
булевых алгебр. Я хотел это добавить,
но решил не пергружать.

Такие дела
Миша

> они почему-то топологию в три раза резвее решают, чем алгебру.

А, ну тогда все в порядке, беспокоиться не о чем. Я-то думала, что у них топология с трудом идет. Тогда и компактификацию Стоуна-Чеха можно добавить (как необязательную), тем более что для нее действительно уже вся база есть, жалко эту базу оставлять почти неиспользованную :-) (Я, кстати, Стоуна-Чеха не помню. Была кажется компактификация добавлением одной точки, но это видимо только для локально компактных пространств работает.)

А почему тогда Каледин ругается? Считает, что это все ненужный груз? Мне такая база в жизни полезна оказалась, даже не собственно результаты (ну кроме основных вещей, конечно), а сама идеология.

А кстати, когда они должны самое позднее сдать все листки, для того чтобы во второй семестр перейти? После зимних каникул? Или это только к традиционным экзаменам относится, а листки надо до Нового Года сдать?

>А почему тогда Каледин ругается? Считает, что это все ненужный груз?

Ну он же этого не знает, и прекрасно жил до сего дня.
Как и любой другой знакомый нам математик. Общая топология
наука практически забытая, консенсус состоит в том, что
лучше давать им вместо этого нечто реально нужное.

> Была кажется
> компактификация добавлением одной
> точки, но это видимо только для локально
> компактных пространств работает.

Одноточечная компактификация. Работает для всех,
но хаусдорфово будет, конечно, только для локально
компактных. (определяется так: открытые множества,
содержащие добавленную точку, соответствуют
дополнениям к компактным подмножествам).
Про нее должна была быть задача, но
пропала куда-то.

> А кстати, когда они должны самое позднее
> сдать все листки, для того чтобы во
> второй семестр перейти?

15 декабря экзамен. Несдавшие все листки
могут пытаться вместо этого сдать экзамены
(это будет труднее). Если люди каждый
раз ходят и делают явственное усилие,
для них процесс можно продлить, насколько
позволит учебная часть.

Такие дела
Миша