:-)))

— Сестра, каково состояние больного?
— Сорок пять миллионов.
— Немедленно оперировать!

в отпуск пора :)

И давно.

Почему не сказать "натуральное"?

Видимо потому, что целое положительное и натуральное — это не одно и тоже. Последние ещё содержат нуль.

Есть разные мнения по поводу нуля. В русской школе обычно не включается.

Меня в русской школе учили, что натуральные числа — это те, которые используются при счёте.
Из чего я немедленно делаю вывод, что ноль —
натуральное число, ибо счёт — не что иное,
как подсчёт мощности конечных множеств, а пустое
множество конечно.

Если же применить прагматический подход,
то в математике гораздо чаще требуется использовать
множество всех положительных целых чисел с нулём
нежели без нуля.

Вот аксиомы Пеано:

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

У вас почти всё правильно, за исключением того, что в современной математике свойства 1 и 3 формулируются так:
1. 0 является натуральным числом;
3. 0 не следует ни за каким натуральным числом;

Вот, например, что думают по этому поводу три основных математических энциклопедии:
http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html
http://mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html
Все три согласны со мной.

Заметьте, что все ваши ссылки - англоязычные. Я в свое время, когда начал читать англоязычные книжки, именно что отметил, что у них в натуральные числа нуль включают, тогда как в советской школе не включали.

Это плохо, что весь мир считает ноль натуральным, а мы — нет.
Математика должна быть одна на всех.
Для включения нуля в натуральные числа есть естественная
причина: ноль встречается при счёте (подсчёте количества элементов в конечном множестве).
Для его исключения нет никаких причин кроме иррационального
страха перед «специальными числами» вроде
нуля и единицы. Древние греки и единицу числом не считали.
Надо ли говорить, что обозначение для нуля появилось сильно позже обозначений для остальных чисел?

Вообще, невключение нуля в число натуральных чисел —
это древний первобытный страх людей перед нулём.
Как будто в нём что-то особенное. А на самом деле
нуль — обычное натуральное число.
Весьма показательна в этом отношении позиция древних
греков, которые не считали единицу числом.
От страха перед единицой мы уже давно избавились,
давно пора избавиться от страха перед нулём.

И отрицательными числами :)

Еще раз, Вы же понимаете, что аксиоматика не меняется по сути. Вот русская Википедия не включает 0:
http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE

http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

и даже специально отмечают:
"Замечание
Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют 1 на 0. В этом случае ноль считается натуральным числом"

Впрочем, вот К.Айерлэнд, М.Роузен, "Классическое введенеи в современную теорию чисел"., М.Мир, 1987 - тоже начинают с единицы :)

Спор-то пустой :)

>И отрицательными числами :)

В данном случае речь идёт о счёте.
Отрицательные числа при счёте не используются.

Указанная вами статья на викии (это, кстати, не википедия)
содержит следующие высказывания в своём начале:

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при :
перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета… ) общепринято в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

В русских школах, как я уже говорил, натуральные числа определяются как числа, используемые при счёте, а не при нумерации. Во всяком случае, в моей школе это было именно так.

Проблема с нумерацией заключается в том, что её
можно вести начиная с любого целого числа —
как с единицы, так и с нуля. Равно как и с числа -51.

Поэтому по понятным причинам ноль является натуральным
числом. Это удобно всегда, кроме тех случаев, когда
рассматриваются мультипликативные свойства.
Чаще всего это делается в теории чисел.

>Впрочем, вот К.Айерлэнд, М.Роузен, "Классическое введенеи в современную теорию чисел"., М.Мир, 1987 - тоже начинают с единицы :)

Закономерно, теория чисел — единственная область,
где ненулевые натуральные числа встречаются чаще,
чем просто натуральные числа.

>Спор-то пустой :)

Если бы так. Учитывая распространённость термина,
спор совсем не пустой.

Отрицательные числа при счёте не используются.
Еще как используются.
- Три... Два... Один... Старт!

Это не счёт, это измерение! Измерение времени.
При измерении могут использоваться отрицательные числа.

Потому что в анекдоте этому слово обычно придается совсем иное значение.

И это совершенно правильный ответ (наряду с "четное", "нечетное", "простое", и т.п.)! Чтобы получить в ответ номер дня в месяце, нужно спрашивать "Которое сегодня число?"!

С этим к Борису Леонидовичу, пожалуйста... Он, правда, тысячелетья считал, но не суть важно.

Зачем далеко ходить за примерами? Моя бабушка, хоть меня и не поправляла, как я теперь понимаю, в своей речи очень последовательно выдерживала разницу между "какой?" и "который?"

Вопрос, кстати, интересный. Выражение "какое сегодня число" я нашел у Чехова, Тынянова и Катаева - не последних стилистов.
Так почему же говорят "какое число", но "который час"?

У "которое число" просодия неудачная?

А у меня сегодня число абсолютно иррациональное...
Кажется, так будет до конца месяца

У иррациональных чисел конца нет даже на ограниченном интервале. Вот где жуть-то.