Сопряжённость между \otimes и \Hom
Из жанра приколов.

Пусть A, B, C --- абелевы группы. Тогда имеем следующий изоморфизм: \Hom(A \otimes B, C) \cong \Hom(B, \Hom(A, C)).

Пусть теперь A --- S-R-бимодуль, B --- R-модуль, C --- S-модуль. Мы хотим вывести изоморфизм \Hom_S(A \otimes_R B, C) \cong \Hom_R(B, \Hom_S(A, C)) из предыдущего изоморфизма.

Пусть M --- бимодуль над кольцом R. Определим его нулевые гомологии и когомологии Хохшильда следующим образом:
HH_0(R, M) := M / {rm=mr | r \in R, m \in M},
HH^0(R, M) := {m \in M | rm=mr для всех r \in R},
где факторизация в определении HH_0(R, M) --- это факторизация абелевой группы по абелевой подгруппе.

[Очень надеюсь, что не напутал, и это реально HH_0 и HH^0.]

Тогда A \otimes_R B := HH_0(R, A \otimes B) и \Hom_S(A, C) := HH^0(S, \Hom(A, C)).

Введём обозначения F(A, B) := A \otimes B и G(A, C) := \Hom(A, C).

Тогда
HH^0(S, \Hom(HH_0(R, F(A, B)), C)) \cong
HH^0(S, HH^0(R, \Hom(F(A, B), C)))
и
HH^0(R, \Hom(B, HH^0(S, G(A, C)))) \cong
HH^0(R, HH^0(S, \Hom(B, G(A, C)))),
практически по определению.

Конец вывода.