Сопряжённость между \otimes и \HomИз жанра приколов.
Пусть
A,
B,
C --- абелевы группы. Тогда имеем следующий изоморфизм:
\Hom(A \otimes B, C) \cong \Hom(B, \Hom(A, C)).
Пусть теперь
A ---
S-
R-бимодуль,
B ---
R-модуль,
C ---
S-модуль. Мы хотим вывести изоморфизм
\Hom_S(A \otimes_R B, C) \cong \Hom_R(B, \Hom_S(A, C)) из предыдущего изоморфизма.
Пусть
M --- бимодуль над кольцом
R. Определим его нулевые гомологии и когомологии Хохшильда следующим образом:
HH_0(R, M) := M / {rm=mr | r \in R, m \in M},
HH^0(R, M) := {m \in M | rm=mr для всех r \in R},
где факторизация в определении
HH_0(R, M) --- это факторизация абелевой группы по абелевой подгруппе.
[Очень надеюсь, что не напутал, и это реально
HH_0 и
HH^0.]
Тогда
A \otimes_R B := HH_0(R, A \otimes B) и
\Hom_S(A, C) := HH^0(S, \Hom(A, C)).
Введём обозначения
F(A, B) := A \otimes B и
G(A, C) := \Hom(A, C).
Тогда
HH^0(S, \Hom(HH_0(R, F(A, B)), C)) \cong
HH^0(S, HH^0(R, \Hom(F(A, B), C)))и
HH^0(R, \Hom(B, HH^0(S, G(A, C)))) \cong
HH^0(R, HH^0(S, \Hom(B, G(A, C)))),
практически по определению.
Конец вывода.
Current Mood: 
excited
Tags: math
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}