Это вы что-то заумное говорите. По-моему там просто всё.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Пусть C --- полугруппа* с нулем, x \in C --- ненулевой элемент, а e, e' \in Neu(C) --- нейтральные элементы, такие что ex, e'x \neq 0. Тогда e = e'.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Понятно, что раз ex, e'x \neq 0, то ex = e'x = x. Тогда e'ex = e'x = x \neq 0. Отсюда следует, что e'e \neq 0, а из этого, в свою очередь, следует, что e = e'e = e'.

По симметрии элемент e \in Neu(C), такой что xe \neq 0, тоже определён однозначно, если существует.

Условие "для любого ненулевого x \in C существуют e', e'' \in \Neu(C), такие что e'xe'' \neq 0" влечет условие "для любого ненулевого x \in C существуют e', e'' \in \Neu(C), такие что e'x \neq 0 и xe'' \neq 0. Обозначим такой e' через t(x), а e'' --- через s(x).

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть C --- категория, а x, y \in C --- пара ненулевых элементов. Тогда условие xy \neq 0 эквивалентно условию t(y) = s(x), причём если xy \neq 0, то s(xy) = s(y) и t(xy) = t(x).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xy \neq 0. Тогда xy = x s(x) y \neq 0, поэтому s(x) y \neq 0, поэтому s(x) = t(y).
Пусть s(x) = t(y) = e. Тогда x = xe \neq 0, y = ey \neq 0, откуда, по аксиоме категории, следует, что xey \neq 0, а xey = xy.
Равенства s(xy) = s(y) и t(xy) = t(x) совсем очевидны.

В общем-то и всё, так по категории в описанном смысле строится категория в привычном смысле. А по категории в привычном смысле мы строим полугруппу, объявив произведение не компонуемых морфизмов нулём.

>Множество \Neu(C) тут это множество объектов получается.

Да, это тождественные морфизмы, которые можно отождествить с объектами.

Возможно, стоит ещё отметить, что если C --- категория, а e \in \Neu(C), то e = e s(e) = s(e) и e = t(e) e = t(e).