Бирасслоения над стрелкой и сопряжённые функторы
Утверждение.
Бирасслоение над стрелкой $0 \to 1$ с выбранным пуллбэком и пушфорвардом --- это то же самое, что пара сопряжённых функторов. Стрелка из объекта над нулём в объект над единицей может быть пропущена через пушфорвард своей области или через пуллбэк своей кообласти, что задаёт биекцию сопряжения.

Подробно. Две категории, между которыми сопряжённая пара --- это слой над $0$ (обозначим $C_0$) и слой над $1$ (обозначим $C_1$), а пара функторов --- это выбранные "пуллбэк" и "пушфорвард" бирасслоения (т.е. функтора, который одновременно является и расслоением, и корасслоением Гротендика). Обозначим первый $G : C_1 \to C_0$, второй --- $F : C_0 \to C_1$. Естественная биекция сопряжения задаётся так: связанная со стрелкой $f: F(x) \to y$ из $C_1$ стрелка $x \to F(x) \to y$ (композиция стрелки, соответствующей $F$, и $f$) однозначно разлагается как $x \to G(y) \to y$, где вторая стрелка --- это стрелка, соответствующая $G$, а первая стрелка --- это некая стрелка $g$ из $C_0$, которая и сопоставляется $f$.

И наоборот, по паре сопряжённых функторов $F : C_0 \to C_1$ и $G : C_1 \to C_0$ можно построить бирасслоение над стрелкой, определив стрелки из $x \in C_0$ в $y \in C_1$ как пары стрелок $(f : F(x) \ to y, g : x \to G(y))$, связанных биекцией сопряжения.

Должно быть, стандартный факт (если верно).

Tags: math