Сопряжённость между \otimes и \Hom
Из жанра приколов.

Пусть A, B, C --- абелевы группы. Тогда имеем следующий изоморфизм: \Hom(A \otimes B, C) \cong \Hom(B, \Hom(A, C)).

Пусть теперь A --- S-R-бимодуль, B --- R-модуль, C --- S-модуль. Мы хотим вывести изоморфизм \Hom_S(A \otimes_R B, C) \cong \Hom_R(B, \Hom_S(A, C)) из предыдущего изоморфизма.

Пусть M --- бимодуль над кольцом R. Определим его нулевые гомологии и когомологии Хохшильда следующим образом:
HH_0(R, M) := M / {rm=mr | r \in R, m \in M},
HH^0(R, M) := {m \in M | rm=mr для всех r \in R},
где факторизация в определении HH_0(R, M) --- это факторизация абелевой группы по абелевой подгруппе.

[Очень надеюсь, что не напутал, и это реально HH_0 и HH^0.]

Тогда A \otimes_R B := HH_0(R, A \otimes B) и \Hom_S(A, C) := HH^0(S, \Hom(A, C)).

Введём обозначения F(A, B) := A \otimes B и G(A, C) := \Hom(A, C).

Тогда
HH^0(S, \Hom(HH_0(R, F(A, B)), C)) \cong
HH^0(S, HH^0(R, \Hom(F(A, B), C)))
и
HH^0(R, \Hom(B, HH^0(S, G(A, C)))) \cong
HH^0(R, HH^0(S, \Hom(B, G(A, C)))),
практически по определению.

Конец вывода.

Current Mood: excited
Tags: math

Полные метрические пространства
Пусть X --- метрическое пространство. Тогда можно рассмотреть следующие два свойства.

1) Любая последовательность Коши в X сходится.
2) Для любой пары (Y,Y') из метрического пространства Y и его плотного подпространства Y' любое равномерно непрерывное отображение Y' \to X продолжается до непрерывного отображения Y \to X.

Общеизвестно, что (1) \implies (2). Похоже, обратное тоже верно.

Доказательство.
Рассмотрим множество точек отрезка [0,1] вида 2^{-n}, где n \in \N_0, которое обозначим через N'. Пусть N --- это N' \cup \{0\}.
Тогда последовательность --- это отображение N' \to X, а предел последовательности соответствует непрерывному продолжению этого отображения на N. Последовательность является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда соответствующее отображение N' \to X равномерно непрерывно. Конец доказательства.

Должно быть, просто суперстандартный факт. Но как-то, мне кажется, он менее популярен, чем должен был быть.

Tags: math

Покрытия локализациями
UPD 2024-03-18 21.34 MSK. Похоже, вопрос закрыт (см. комментарии).

Вопрос

В лекции 7 Д. Каледина из курса, доступного по ссылке [1], в лемме 7.13 есть некое рассуждение.

Чуть обобщённое (быть может, неправильно), мне кажется, оно доказывает следующее.

Утверждение.
Пусть M --- модуль над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом A, а (S_i)_{i \in I} --- семейство мультипликативных подмножеств A, такое что множества \Spec(A_{S_i}) покрывают множество \Spec(A).
Тогда последовательность как в определении пучка
0 \to M \to
\bigoplus_{i \in I} M_{S_i}
\to
\bigoplus_{(i,j) \in I \times I}
M_{S_i S_j}
точна.

Рассуждение такое. Для произвольного e \in I мы применяем к нашей последовательности функтор локализации по S_e и замечаем, что получившаяся последовательность точна по тривиальным причинам. Отсюда, в свою очередь, следует, что исходная последовательность точна.

...

Но в это как-то трудно поверить. Обычно когда схемы определяют, такое (похожее) утверждение доказывают в предположении конечности I. Неужели это утверждение реально верно в такой общности и рассуждение работает? Ощущение, что я что-то напутал.

[1]: https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html

Tags: math

http://verbit.ru/MATH/GALOIS-2013/
Для личного пользования собрал все листочки и слайды курса по теории Галуа со страницы [1] в один PDF файл.

Сам PDF (0.7 MB): [2].
ZIP архив с исходниками (0.9 MB): [3].

[1]: http://verbit.ru/MATH/GALOIS-2013/
[2]: https://files.catbox.moe/ntzne3.pdf
[3]: https://files.catbox.moe/2q5koa.zip

Tags: math

Теорема Гамильтона-Кэли
Одно из стандартных доказательств теоремы Гамильтона-Кэли, переписанное чуть другими словами. Надеюсь, не напортачил.

Код LaTeX

\begin{theorem}[\scshape Теорема Гамильтона-Кэли]
\label{thm:Cayley-Hamilton}
Если \(x\) --- эндоморфизм свободного конечнопорождённого модуля \(V\) над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом \(A\), то \(x\) является корнем своего характеристического многочлена.
\end{theorem}

\begin{proof}
Гомоморфизм \(A[X] \to \End_A(V)\), \(X \mapsto x\) индуцирует действие \(\End_A(V) \otimes_A A[X]\) на \(\End_A(V)\) через левое и правое умножение,
при этом \(\Id_V\) зануляется \(c \coloneqq x \otimes 1 - 1 \otimes X\), а потому зануляется и \(\det(c) \in A[X] \subset \End_A(V) \otimes_A A[X] \cong \End_{A[X]}(V \otimes_A A[X])\), кратным \(c\).
\end{proof}

Скриншот PDF (jpeg, примерно 0.4 MB):
https://files.catbox.moe/1zm5qe.jpeg

upd. 2024-02-19 13.33 MSK. Мелкие изменения.

Tags: math

Задача
Задача для себя на будущее: найти бескоординатное доказательство того, что коэффициенты характеристического многочлена оператора --- это следы его внешних степеней со знаками.

Tags: math

Кто-нибудь может привести точную ссылку на какую-нибудь цитату Уильяма Ловера, где он говорит, что название "comma category" ему не нравится?

upd. 2024-02-15 23.42 MSK. Нашёл, см. комментарии.

Tags: math

[Ниже философская графомания, ценящим время и мозги читать не рекомендуется.]

Есть такое понятие --- распределитель/бимодуль/профунктор/бифунктор..., вот: [1], [2].

Будем понимать это дело как категорию над стрелкой (то есть с функтором в стрелку), слой над 0 назовём областью, слой над 1 --- кообластью. Цилиндр функтора и коцилиндр функтора превращают функтор в распределитель.

Будем называть распределитель A \to B финальным справа, если для любого a \in A категория стрелок вида a \to b, где b \in B, связна. Цилиндры финальны справа, ясно дело.

Пусть C --- категория. Мы можем рассмотреть категорию диаграмм такого вида: объекты --- это функторы f : I \to C, а морфизмами из f : I \to C в g : J \to C являются пары из финального справа распределителя из I в J и продолжения функторов f и g на этот распределитель. Это типа расширение обычной категории диаграмм, в которой морфизмы --- это пары из функтора и естественного преобразования.

Так вот, вроде бы копределы функториальны по расширенной категории диаграмм в таком смысле.

О чём это? Да ни о чём. Прелюдия к
Адская спекуляция: все эти штуки с распределителями --- это очень слабое указание на то, что существует какая-то парадигма, следующая после категорной.
Чувство дискомфорта какое-то возникает, как когда ты видишь, что объект недостаточно симметричный, а поправить когерентно сходу не можешь. Должно же оно быть чем-то оправдано.

P. S. Присобачу до кучи малосвязанное (?), всё равно философия:
Две конструкции шифификации похожи на "конструкцию через предел копределов" (через сечения пространства ростков) и "конструкцию через копредел пределов" (конструкция по измельчающимся покрытиям). Ясно (?), что тут морфизм перестановки копределов и пределов присутствует, но формально его вроде нет.

[1]: https://ncatlab.org/joyalscatlab/show/Distributors+and+barrels
[2]: https://ncatlab.org/nlab/show/profunctor

Tags: math, неважное

Праздный вопрос: у вложения категории (малых) абелевых категорий в категорию (малых) категорий есть левый сопряжённый функтор?

Tags: math, неважное

Мелкое замечание про аддитивные категории
Сейчас будет короткий поток сознания.

Похоже, преаддитивная категория аддитивна тогда и только тогда, когда квадрат ассоциативности кодиагонали декартов.
Потому что, наверное, моноид в категории является группой тогда и только тогда, когда его квадрат ассоциативности декартов, смотри [1].
Предупреждение: это запросто может быть и неверным, я подробно не проверял.

Но условие декартовости квадрата ассоциативности кодиагонали имеет смысл и без требования преаддитивности. Интересно, в других контекстах оно где-нибудь встречалось?

[1] https://twitter.com/CihanPostsThms/status/1656363838713786385

Tags: math, неважное

Предаддитивные категории
Кажется, что предаддитивная категория в смысле раздела 1.3 статьи [1] --- это то же самое, что категория, в которой конечные произведения и копроизведения существуют и коммутируют друг с другом. Предупреждение: может это и неверно, я подробно не проверял.

С другой стороны, стандартный морфизм из коядра ядра в ядро коядра как-то смутно смахивает чисто по формулировке на морфизм перестановки пределов. Интересно, нет ли тут какой-то связи тоже.

[1]: https://arxiv.org/abs/2112.02155

Tags: math

Пустой предел
Пример пустого предела, несколько раз упоминавшийся на LJR, например, по ссылке [1], записан в The Stacks project, по ссылке [2]. А там ссылка на статью 1972 года некоего Уильяма Уотерхауса. Наверное, можно называть это "контрпример Уотерхауса", если хочется дать какое-то именное название.

[1] http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1761692.html?thread=106418588#t106418588
[2] https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AKK

Tags: math

Скомпилировал в один PDF записки лекций Д. Каледина по алгебраической геометрии отсюда:
https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html
Сделано для предполагаемого личного пользования в далёком-далёком будущем, но, наверное, если выложу, то вреда не будет.

TeX (XeLaTeX): https://files.catbox.moe/bp80g3.tex
PDF: https://files.catbox.moe/mkazp0.pdf

Tags: math

Лемма Адамара и лемма Морса
Читал самый начальный кусок лекций
https://old.mccme.ru/ium//s05/trivium.html
и возникли сомнения в доказательствах из лекции 3, скажем, в доказательстве предложения 1.4 почему $D(f - f') = 0$ на $W$.
Набросал альтернативное доказательство:
https://files.catbox.moe/4grju1.pdf
Возможно, выглядит громоздко, и, возможно, неверно, не знаю. Много пропусков. Как бы то ни было.

Tags: math

Сечения Дедекинда и кольцо Гротендика
Определим сечение Дедекинда как непустое собственное открытое замкнутое вправо подмножество \Q.
Сложение определим как поточечное сложение подмножеств, порядок --- через порядок на подмножествах.
Проведём, возможно, немного нетривиальную проверку, что у каждого сечения есть аддитивно обратное сечение.
Определим умножение неотрицательных сечений как поточечное умножение подмножеств.
Легко видеть, что неотрицательные сечения образуют полукольцо.
Теперь заметим, что кольцо Гротендика полукольца неотрицательных сечений можно отождествить с множеством всех сечений. Таким образом, умножение получается автоматически.
В итоге, по сути, нам нужно провести две проверки, одну --- в начале, другую --- в конце:
1. Наличие аддитивно обратных для всех сечений.
2. Наличие мультипликативно обратных для строго положительных сечений.

Если конечно, ничего не напутал, детали не проверял.

UPD. 2023-08-29 14.31 MSK
В общем-то это очередной бессодержательный пост, единственный смысл которого в том, что я чуть-чуть лучше разобрался в сечениях Дедекинда. Надо завязывать.

Tags: math

Уравнения Эйлера-Лагранжа
sometimes
>уравнения Эйлера-Лагранжа можно
>написать в бескоординатной форме, но они выглядят намного более громоздко
>(и обычно их никто в такой форме не видел)
Source: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/2360412.html?thread=147152476#t147152476

sometimes
>Показательно, например, что даже уравнения Эйлера-Лагранжа (не говоря о теореме Нетер) нигде в монографиях не пишут инвариантно, все в координатах; в статьях инвариантную формулировку можно найти, и она довольно громоздка.
Source: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/2360412.html?thread=147483740#t147483740

polytheme
>я повторяю, сам не смотрел - но из интересного там могло бы быть инвариантное изложение уравнений Лагранжа
Source: http://lj.rossia.org/users/polytheme/251035.html?thread=1132187#t1132187

Вообще никаких более-менее учебных текстов нет, где с этой "инвариантной формулировкой уравнений Эйлера-Лагранжа" можно ознакомиться?

Tags: math

Без применения алгебраической геометрии
В предисловии к книге <<Введение в теорию алгебр Ли и их представлений>> Хамфри/Хамфрис пишет:
<<Теорема сопряжённости для картановских подалгебр доказывается (следуя Уинтеру и Мостову) элементарными методами теории алгебр Ли без применения алгебраической геометрии.>>.
Но в лемме А из пункта 15.2 (<<Подалгебры Энгеля>>) по сути используется алгебраическая геометрия. Очень очень примитивная, конечно, но.
Это применение АГ похоже на применение АГ в дополнении к параграфу 23.

Tags: math

В статье TYCHONOFF’S THEOREM IN A CATEGORY (MARIA MANUEL CLEMENTINO AND WALTER THOLEN)
https://www.ams.org/journals/proc/1996-124-11/S0002-9939-96-03435-1/S0002-9939-96-03435-1.pdf
раздел 4 (Examples) пункт 3 написано:

>The Theorem shows that the fibred product of proper maps is proper. From this fact one derives immediately Frol´ık’s [8] generalization of Tychonoff’s Theorem, namely that the direct product of proper maps is proper.

Это ``one derives immediately'' как происходит?

Tags: math

Тензорное произведение
Написал текст про тензорное произведение.
https://files.catbox.moe/7j01xb.pdf (74.2 KB) (upd. 2023-02-24 15.22 MSK)

1. Ассоциативность --- это несколько нетривиальный факт. Кажется, в его доказательстве надо явно или неявно сослаться на сопряжённость с Hom.

2. Конструкция кольцевой структуры на тензорном произведении колец использует ассоциативность. Наверное, это стоит указывать явно, а не то я какое-то время думал, что формула (a \otimes b)(a' \otimes b') = (aa') \otimes (bb') типа что-то там определяет.

3. Можно определить тензорное произведение с коэффициентами не предполагая линейной упорядоченности индексирующего множества.

4. Точную последовательность, выражающую точность тензорного произведения справа, можно немножко обобщить. Чёрт его знает, даёт ли это что-то или нет.

Current Mood: sleepy
Tags: math

4-лемма и полудекартовы квадраты
Сначала общее (и чуть в сторону).

---------------------

В категории модулей над ассоциативным унитальным кольцом существует очевидная эквивалентность между категорией квадратов и категорией диаграмм, состоящих из короткой последовательности, снабжённой разложением среднего члена в прямую сумму, то есть бипроизведение.

(<<Короткая последовательность>> --- это просто пара компонуемых морфизмов.)

Типа квадрату A \to B, B \to D, A \to C, C \to D соответствует последовательность A \to B \oplus C \to D (плюс 4 стрелки из B \oplus C в и из B и С).

Квадрат антикоммутативен тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность является комплексом.
Антикоммутативный квадрат декартов/кодекартов тогда и только тогда, когда соответствующий комплекс точен слева/справа соответственно.

Категория коммутативных квадратов, в свою очередь, изоморфна категории антикоммутативных, например, с помощью любого из изоморфизмов замены нечётного числа стрелок квадрата на аддитивно обратные.

При тривиальном разложении в прямую сумму условие коммутативности соответствующего квадрата совпадает с условием антикоммутативности, а наблюдение --- с определением ядра/коядра.

Если соответствующий коммутативному/антикоммутативному квадрату короткий комплекс точен в среднем члене, то квадрат называется полудекартовым. Квадрат, который и декартов, и кодекартов, называется бидекартовым.

---------------------

Конец копипасты, теперь, собственно, к теме.

Есть такая лемма --- 4-лемма, из гом. алгебры.

Пусть у нас есть морфизм из точной последовательности A \to B \to C \to D в точную последовательность A' \to B' \to C' \to D'. Пусть соответствующая компонента A \to A' сюръективна, а компонента D \to D' --- инъективна. Тогда индуцированное отображение из ядра B \to B' в ядро C \to C' сюръективно, а отображение из коядра B \to B' в коядро C \to C' инъективно.

Докажем.

Сначала переформулируем. Мы можем заменить A на образ A в B, A' на образ A' в B', D на образ C в D, D' на образ C' в D'. Тогда лемма переформулируется следующим образом.

Пусть A \to B, B \to D, A \to C, C \to D --- коммутативный квадрат. Скажем, морфизм A \to B нарисован горизонтально, A \to C --- вертикально. Если индуцированное отображение между ядрами горизонтальных морфизмов сюръективно, а между коядрами горизонтальных морфизмов --- инъективно, то индуцированные отображения между ядрами/коядрами вертикальных морфизмов тоже сюръективны/инъективны соответственно.

Переведём на язык короткого комплекса A \to B \oplus C \to D.
Условие сюръективности отображения между ядрами переводится так: циклы вида (0,c) (в B \oplus C) являются границами.
Условие инъективности отображения между коядрами переводится так: для любого цикла (b,c) существует граница вида (b,c').
Эти условия очевидным образом эквивалентны полудекартовости квадрата (точности комплекса в B \oplus C), а это условие, очевидно, симметрично относительно отражения квадрата вдоль диагонали AD.

Надеюсь, что ничего не напутал.

---

PDF: https://files.catbox.moe/nftklr.pdf (upd. 2023-02-15 15.28 MSK)

Tags: math