Сечения Дедекинда и кольцо Гротендика
Определим сечение Дедекинда как непустое собственное открытое замкнутое вправо подмножество \Q.
Сложение определим как поточечное сложение подмножеств, порядок --- через порядок на подмножествах.
Проведём, возможно, немного нетривиальную проверку, что у каждого сечения есть аддитивно обратное сечение.
Определим умножение неотрицательных сечений как поточечное умножение подмножеств.
Легко видеть, что неотрицательные сечения образуют полукольцо.
Теперь заметим, что кольцо Гротендика полукольца неотрицательных сечений можно отождествить с множеством всех сечений. Таким образом, умножение получается автоматически.
В итоге, по сути, нам нужно провести две проверки, одну --- в начале, другую --- в конце:
1. Наличие аддитивно обратных для всех сечений.
2. Наличие мультипликативно обратных для строго положительных сечений.

Если конечно, ничего не напутал, детали не проверял.

UPD. 2023-08-29 14.31 MSK
В общем-то это очередной бессодержательный пост, единственный смысл которого в том, что я чуть-чуть лучше разобрался в сечениях Дедекинда. Надо завязывать.

Tags: math