Покрытия локализациями
UPD 2024-03-18 21.34 MSK. Похоже, вопрос закрыт (см. комментарии).

Вопрос

В лекции 7 Д. Каледина из курса, доступного по ссылке [1], в лемме 7.13 есть некое рассуждение.

Чуть обобщённое (быть может, неправильно), мне кажется, оно доказывает следующее.

Утверждение.
Пусть M --- модуль над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом A, а (S_i)_{i \in I} --- семейство мультипликативных подмножеств A, такое что множества \Spec(A_{S_i}) покрывают множество \Spec(A).
Тогда последовательность как в определении пучка
0 \to M \to
\bigoplus_{i \in I} M_{S_i}
\to
\bigoplus_{(i,j) \in I \times I}
M_{S_i S_j}
точна.

Рассуждение такое. Для произвольного e \in I мы применяем к нашей последовательности функтор локализации по S_e и замечаем, что получившаяся последовательность точна по тривиальным причинам. Отсюда, в свою очередь, следует, что исходная последовательность точна.

...

Но в это как-то трудно поверить. Обычно когда схемы определяют, такое (похожее) утверждение доказывают в предположении конечности I. Неужели это утверждение реально верно в такой общности и рассуждение работает? Ощущение, что я что-то напутал.

[1]: https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html

Tags: math