Определение категории
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть C --- мультипликативная полугруппа* с нулём. Определим её множество нейтральных элементов \Neu(C) как множество e \in C, таких что e \neq 0 и ex, xe \in \{0,x\} для любого x \in C. (upd. 26.09.2024 02.33 MSK. Совокупность \Neu(C) в общем случае множества не образует.)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мультипликативная полугруппа* с нулём C называется категорией, если для всех x, y, z \in C из того, что xy, yz \neq 0 следует, что xyz \neq 0, и для любого ненулевого x \in C существуют e', e'' \in \Neu(C), такие что e'xe'' \neq 0.

Полугруппа* --- это "полугруппа", совокупность элементов которой не подразумевается малой, то есть не подразумевается множеством.

Тут ведь нет ошибки? Это стандартное определение категории через морфизмы, но сформулированное так, что не надо писать занудство типа "(xy)z определено тогда и только тогда..." Эквивалентность этого определения и определения через объекты и морфизмы доказывается легко.

Tags: math