Настроение:	sleepy
Музыка:	Dido — NYC
Entry tags:	псевдоматематика

вопрос (наверное, глупый) к числовикам
я знаю, что некоторые люди, которым теория чисел известна лучше, чем мне, читают этот блог; у меня к ним вопрос. заранее прошу не троллировать сильно, если я сморожу очевидный бред.

на трёхмерном многообразии (конкретно \R^3) контактная форма это 1-форма \lambda с условием \lambda \wedge d\lambda \neq 0. узлы, при ограничении на которые \lambda оказываются тождественно равной нулю, называют лежандровыми. векторное поле Риба (Reeb) определяется условиями \lambda(R) = 1, d\lambda(R,\cdot) = 0. например, для формы xdy + dz поле Риба направлено вертикально вверх вдоль оси z. у нас все контактные формы такие, что поле Риба не имеет замкнутых кривых, и все узлы имеют конечное число рибовских хорд (фазовых кривых поля Риба, начинающихся и заканчивающихся на узле).

зафиксируем в \R^3 два узла, K и L. пусть они лежандровы относительно формы xdy + dz. тогда рибовские хорды от K к L соответствуют точкам пересечения L с цилиндром, натянутым на K и торчащим вертикально вверх, то есть их число равно индексу зацепления. теперь абстрагируемся от имевшейся у нас формы и рассмотрим все достаточно общие формы, относительно которых K и L лежандровы. пусть их пространство линейно связно, тогда, меняя 1-форму, мы будем изотопировать диаграмму зацепления. изотопия эта раскладывается в композицию преобразований Редемейстера, при этом преобразование, распутывающее простую петельку, исключено -- иначе в какой-то момент лежандров узел коснётся рибовского поля. но, наверное, ничто не мешает случиться преобразованию, устраняющему простой перехлёст, которое меняет число точек на 2. значит, индекс зацепления без фиксации контактной формы определён только по модулю 2, в точности как в теории чисел. с другой стороны, при фиксации всё хорошо определяется со значениями в \Z. если в вышеизложенном нет лажи (а она точно есть), то вопрос такой: существует ли какая-либо числовая структура на \Z, которая похожа на контактную форму в том смысле, что позволяет получать символ Лежандра со значениями в \Z? она, если есть, должна испытывать проблемы на бесконечности -- ведь контактные формы бывают на \R^3, а никак не на \S^3. кажется, мне кто-то говорил, плохое поведение в бесконечности обыденно для числовых объектов.