Настроение:	hopeful
Музыка:	Romeo Castellucci -- Le Sacre du Printemps
Entry tags:	геометрия, геометрия/задача Каповича

Упростить рассуждение Каповича
Напомню, что делает Капович. Он берёт в пространстве модулей абелевых дифференциалов (тотальном пространстве расслоения Ходжа над пространством Тейхмюллера) вектора единичной нормы, и отображает их отображением периодов в единичный гиперболоид в когомологиях. Последний как однородное пространство это Sp(2g, R)/Sp(2g-2, R), образ инвариантен относительно Sp(2g, Z)-действия, связные компоненты замыканий орбит сами являются орбитами промежуточных групп U, Sp(2g-2, R) \subset U \subset Sp(2g, R) по теореме Ратнер, а таковые классифицируются, и дальше мы разбираем случай за случаем.

Можно однако заметить, что образ отображения периодов имеет ещё кой-какую инвариантность. Во-первых, всякий абелев дифференциал единичной нормы можно умножать на комплексные числа из U(1), и отображение периодов эквивариантно относительно этого действия. Соответственно, если какая-то точка p \in Sp(2g, R)/Sp(2g-2, R) лежит в образе отображения периодов, она лежит вместе со всем слоем отображения дофакторизации Sp(2g, R)/Sp(2g-2, R) \to Sp(2g, R)/{U(1) x Sp(2g-2, R)}. К сожалению, группа U(1) не порождена унипотентами, поэтому непосредственно к ней теорему Ратнер применить не удаётся.

Однако умножение абелевых дифференциалов на единичные по абсолютной величине комплексные числа -- это только часть большего действия, а именно SL(2, R)-действия (придуманного не знаю кем. То ли Тейхмюллером, то ли Мирзахани). Относительно этого действия отображение периодов также эквивариантно, по построению (оно строится из действия SL(2, R) на \C, в котором лежит фундаментальный многоугольник развёртки). Стало быть, образ отображения периодов инвариантен и относительно SL(2, R) = Sp(2, R)-действия на гиперболоиде, то есть, является полным прообразом какого-то множества в факторе Sp(2g, R)/{Sp(2, R) x Sp(2g-2, R)} (симплектическом грассманиане). Это множество также инвариантно относительно действия Sp(2g, Z) -- и, поскольку Sp(2, R) порождена унипотентами, теорему Ратнер применить к нему можно! Более того, поскольку подгруппа Sp(2, R) x Sp(2g-2, R) \subset Sp(2g, R) максимальна, связная компонента замыкания орбиты есть либо точка (тогда решётка Sp(2g, Z) действует отдельно решёткой в Sp(2g-2, R) и решёткой в Sp(2, R) -- то есть это случай дифференциала, поднимающегося с эллиптической кривой), либо весь симплектический грассманиан (то есть орбита плотна).

Кажется, нет ошибки. Написал Каповичу.