Настроение:	sick
Музыка:	Янка Дягилева -- Стаи летят
Entry tags:	геометрия

Диагональ четырехмерного Куммера
В стандартном дискурсе на эту тему говорят так: возьмите подвижную рациональную кривую на гиперкэлеровом многообразии, ну и задвигайте. Ее пространство деформаций всегда двумерно, то есть она заметает либо линейчатый дивизор (база которого вновь симплектична), либо лагранжеву рационально связную поверхность, и определяется это ее квадратом Бовиля-Богомолова. Но что-то тут не то.

Вообще конечно меня интересует четырехмерный Куммер, но вопрос все равно локальный, так что давайте смотреть на 'Куммера' от A^2. А именно, на Hilb^3(A^2) рассмотрим отображение суммирования Hilb^3(A^2) \to A^2 и у него слой над нулем Kum^2 \subset Hilb^3. В нем содержится локус подсхем с неприведенным носителем, распадающийся в локально замкнутый локус Y подсхем с носителем длины в точности два, и локус Q подсхем, сидящих в нуле. Локально Y это коизотропный дивизор с P^1-расслоением: точка Y есть подсхема с носителем {a, a, -2a}, и отправляя ее в a \in A^2, мы стягиваем P^1, параметризующую направление касательного вектора в точке a. В то же время Q это лагранжева плоскость. Как же они сочленены друг с другом?

Нам тут поможет GL(1)-действие -- то есть, действие гомотетиями на A^2. Во-первых, оно действует нетривиальным образом на Q: у него есть изолированная неподвижная точка вида Spec k[x,y]/<x^2, xy, y^2>, единственная некриволинейная подсхема длины три, сосредоточенная в начале координат, и еще прямая из неподвижных точек вида Spec k[x]/<x^3>, сидящих на прямых, проходящих через начало координат. Вообще же всякая подсхема длины три, сосредоточенная в одной точке, лежит на какой-то конике, но если эта коника невырождена, то подсхема не может сохраняться гомотетией. Итак, замыкания GL(1)-орбит на Q суть прямые, продохящие через изолированную неподвижную точку.

А как устроены GL(1)-орбиты точек с дивизора Y? Ну, они имеют предельную точку из Q: если подсхема выглядела как касательный вектор, смотрящий в начало координат, то эта предельная точка лежит на неподвижной прямой; в противном случае это изолированная неподвижная точка. Давайте возьмем общую подсхему из Y, и будем поворачивать соответствующий касательный вектор, пока он не посмотрит в начало координат. Тогда соответствующая GL(1)-орбита изломится в две, одна из которых имеет замыканием прямую в Q. Стало быть, GL(1)-действие на Y устремляет слои P^1-расслоения к различным прямым в Q, проходящим через изолированную неподвижную точку.

То есть у такой прямой есть два возможных способа задвигать ее: как прямую на лагранжевой плоскости Q, и как прямую на дивизоре Y. Мы кажется даже можем сделать флоп Kum^2 вдоль Q, чтобы расслоение на замыкании дивизора Y стало регулярным (оно продолжится в нуль, если я правильно понимаю, прямой \eta^\vee -- прямой в двойственной плоскости Q^\vee, которая вклеивается после флопа, двойственной изолированной неподвижной точке \eta \in Q). Все равно непонятно.