Нумерологии псто
Известные числа 4 и 7 возникают как размерности таких связанных геометрий, как K3-поверхности и G_2-многообразия. А ещё они возникают как хаусдорфовы размерности контактных трёхмерных трифолдов и энгелевых многообразий соответственно. Эти геометрии тоже связаны: на сферизации контактного распределения у трёхмерного многообразия бывает энгелева структура. А есть ли какая-то связь между этими двумя явлениями?

Единственно возможным вариантом я вижу такой: КР-распределение на трёхмерном КР-многообразии нужно рассматривать как аналог вертикального распределения на K3-поверхности с лагранжевым расслоением. Комплексная структура K3-поверхности определяется одною голоморфно симплектической формой, где (0,1)-вектора возникают как ядро формы. Аналогично можно было бы определять КР-структуру некой комплекснозначной 2-формой на вещественном трифолде, такой, что (0,1)-вектора контактного распределения -- это её ядро. Правда, не очень понятно, какое условие, аналогичное голоморфности, нужно требовать на эту форму. Но если идти по аналогии с K3-поверхностями, то должна иметься метрика вдоль распределения, такая, что её четырёхмерная мера Хаусдорфа задаётся некой вещественной 3-формой, которая делится на 'голоморфно симплектическую форму'. В любом случае, не очень понятно, зачем это всё нужно.